连续函数卷积

形式陈述 ​

这里“连续”指连续变量的积分卷积，不要求输入函数连续。范数与几乎处处等价类采用$L^p$ 空间理路L^p 空间L-p space · Lebesgue space按几乎处处相等取商的积分范数空间；从尖峰和完备性走到共轭指数的对偶表示，并证明有限测度下的反身性。的约定。$L^1({\mathbb{R}}^d)$ 是绝对值积分有限、按几乎处处相等识别的函数空间。对 $f,g\in L^1({\mathbb{R}}^d)$，函数卷积理路卷积Convolution · 卷积运算在加法群上把两份测度按加法映射推前，汇总所有可合成为同一输出的输入贡献。通过Lebesgue 积分理路Lebesgue 积分Lebesgue integral从简单函数积分出发，按单调逼近定义非负、扩展值与可积函数的积分。在几乎处处意义下定义为

它仍属于 $L^1$，并满足 Young 不等式的基本情形

为什么只保证几乎处处有定义 ​

Tonelli 定理理路Tonelli 定理Tonelli's theorem非负可测函数的二重积分与两种迭代积分相等，允许共同取无穷。允许先对非负函数 $|f(y)g(x-y)|$ 换序，再用平移不改变 Lebesgue 积分得到

因此内层绝对积分只能在零测集上为无穷；三角不等式随即给出上述范数界。此时才可通过Fubini 定理理路Fubini 定理Fubini's theorem在适当可积条件下，多重积分等于任意次序的迭代积分。对有符号或复值函数换序。

在这些条件下卷积交换且结合。$L^1({\mathbb{R}}^d)$ 中没有真正的单位函数；Dirac 测度只在扩大的测度框架中担当单位元。若 $f,g$ 是概率密度，则 $f\ast g$ 是两个独立随机变量之和的密度。

一个可积核与一般 Lp 输入 ​

若核 $k\in L^1({\mathbb{R}}^d)$，输入 $f\in L^p({\mathbb{R}}^d)$、$1\le p\le \mathrm{\infty }$，仍可定义

有限 $p$ 时，取 $F(x,y)=k(y)f(x-y)$。平移不改变 $L^p$ 范数，因此

Minkowski 积分不等式理路Minkowski 不等式Minkowski inequality$L^p$ 范数满足三角不等式。先保证内层绝对积分对几乎处处的 $x$ 有限，再给出上述范数界。$p=\mathrm{\infty }$ 时直接使用 $|f(x-y)|\le \Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ 几乎处处，积分得到同一上界；这一端点无需声称有限 $p$ 的密度逼近仍然适用。函数在零测集上的修改不改变所得的 $L^p$ 元素。

这一公式称为 Young 卷积不等式的 $L^1\times L^p$ 版本。例如 $f\equiv 1$ 不属于整空间的 $L^1$，但属于 $L^{\mathrm{\infty }}$；任意积分为一的可积核仍满足 $k\ast 1=1$。因此可积的是核，并不要求每种允许输入都可积。若还要在每个点求值、对输出逐次微分或一致恢复初值，须另外检查核与输入的条件；Gaussian 热核理路热核Heat kernel · Gaussian heat kernel整空间单位热量的 Gaussian 演化核，通过卷积构造热方程解，并把时间相加转为核的卷积半群。和近似恒等核理路近似恒等核Approximate identity · Approximation to the identity总质量固定、绝对质量向原点集中且没有放大失控的卷积核族，使局部平均在有限 Lp 范数中恢复输入。分别提供这些具体结论。