Fourier 级数

周期把允许频率离散成整数。每个 $e^{inx}$ 是一种纯振荡模式，Fourier 系数就是函数在该正交方向上的投影。部分和不是凭经验挑选三角函数，而是给定频率预算 $|n|\le N$ 时的最佳 $L^2$ 近似。

空间域中的平移只改变各频率的相位，微分则把第 $n$ 个系数乘以 $in$。因此周期微分方程、波动与滤波可以在频率坐标中逐模态处理。不过这种“对角化”首先是函数空间结论，不能用有限采样的 FFT 图像替代收敛分析。

取 $2\pi$-周期方波 $f(x)=1$（$0<x<\pi$）及 $f(x)=-1$（$-\pi <x<0$）。它只有奇数正弦频率，部分和在连续点趋近函数值，在跳跃点趋向左右极限的平均值。跳跃附近的过冲不会随 $N$ 消失，只会被压缩到更窄区域，这就是 Gibbs 现象；因此点态多数位置收敛不等于一致收敛。

连续函数的 Fourier 级数也不能在没有额外条件时宣称处处或一致收敛。Dirichlet 核理路Dirichlet 核Dirichlet kernel把 Fourier 对称部分和写成卷积的振荡核，其增长的绝对质量揭示硬频率截断的端点不稳定。的绝对质量增长说明普通部分和为何在上确界范数下失稳；改用非负核的Fejér 平均理路Fejér 求和定理Fejer theorem · Cesàro summation of Fourier series对 Fourier 部分和作 Cesàro 平均得到非负单位质量核，从而对每个连续周期函数一致收敛。，则对每个连续周期函数一致收敛。另一方面，$L^2$ 元素是几乎处处等价类，级数的 $L^2$ 极限不为每个具体点指定代表值。实三角形式与复指数形式可以互换，但系数中的 $2$ 与 $\pi$ 取决于归一化；跨页计算必须坚持本页约定。

Parseval 等式把信号能量分解到频率上，正则性则常表现为高频系数更快衰减。Fourier 级数服务于周期边值问题、热方程与波方程，也为有限循环上的离散 Fourier 变换提供概念背景。圆盘 Poisson 核理路圆盘 Poisson 核Poisson kernel on the disk · Poisson integral formula on the disk用非负边界权重构造单位圆盘调和延拓的核，其频率权重按半径的幂次衰减。将第 $k$ 个边界频率乘以 $r^{|k|}$，直接构造内部调和温度，并以正核保证边界误差不被放大。

若已知的不是任意函数，而是完整的有限Laurent多项式，还可问它是否在整个圆周非负。Fejér–Riesz分解理路Fejér–Riesz 的标量谱因子分解Fejér–Riesz factorization · Scalar polynomial spectral factorization · 非负三角多项式的模平方分解将整个单位圆上非负的标量Laurent多项式分解为普通多项式的模平方，证明根选择、边界偶重与规范唯一性，并区分有限矩阵检查和真正的全圆周正性。将这一条件准确化为 $Q(e^{it})=|p(e^{it}){|}^2$，并用有限系数卷积验证，无需把采样频率上的正值当作全域证书。只给少量Fourier矩则是另一项任务：有限圆周矩理路有限圆周矩与Toeplitz原子证书Truncated trigonometric moment problem · Positive Toeplitz Vandermonde decomposition · 有限圆周矩问题以有限Hermitian Toeplitz半正定判定正圆周测度存在，证明奇异数据的唯一原子表示、正定数据的多解及指定原子最大质量的准确达到。要求存在某个正测度补全未知尾，并没有把未给出的系数设成零。

非周期函数改用连续频率的Fourier 变换理路Fourier 变换Fourier transform · 傅里叶变换把非周期函数分解为连续频率成分，并将卷积和平移不变算子转为频域乘法。；其 $L^2$ 等距延拓由Plancherel 定理理路Plancherel 定理Plancherel theoremFourier 变换从稠密子空间唯一延拓为 L² 上保持内积与范数的酉算子。给出。FFT理路快速 Fourier 变换Fast Fourier transform · FFT利用单位根的偶奇分解在 $O(n\log n)$ 时间计算离散 Fourier 变换。是有限离散变换的算法，不是本页无穷级数定义本身。

圆群上的整数频率还可以看成一维不可约酉表示。Peter–Weyl 定理理路Peter–Weyl 定理Peter-Weyl theorem紧群的不可约酉表示矩阵系数组成 L² 的正交基；由 Schur 平均解释正交性，并在圆群中完成 Fourier 系数计算。把它推广到紧群的全部矩阵系数，给出 $L^2$ 正交分解；非交换群需要保留矩阵条目，单有特征标通常只够描述类函数。

还可以把本页的级数展开用在一段有限频带上。带限采样定理理路Whittaker–Shannon采样定理Whittaker-Shannon sampling theorem · Nyquist-Shannon sampling theorem · 带限采样定理 · Shannon sampling theorem从有限频带的正交展开恢复整实线函数，核清采样步长、连续代表、能量等式和一致误差，并区分平方可和噪声与逐样本有界噪声。中，被展开的是连续Fourier频谱，其指数基系数恰好是时间格点样本；有限频带的L2尾又有统一L1上界，因此反演后得到整实线一致收敛。这份额外支撑条件不能省去后再声称任意周期L2级数都一致收敛。