Fourier 级数 | Codeboy's Blog

形式陈述

本库对 $2\pi$ -周期函数采用复指数约定。在$L^2$ 空间 $L^2([0,2\pi])$ 中，内积取

\langle f,g\rangle=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\overline{f(x)}g(x)\,dx,

则 $e_n(x)=e^{inx}$ ， $n\in\mathbb Z$ ，构成正交规范基。函数 $f$ 的 Fourier 系数和第 $N$ 个对称部分和定义为

\widehat f(n)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(x)e^{-inx}\,dx, \qquad S_Nf(x)=\sum_{n=-N}^{N}\widehat f(n)e^{inx}.

对每个 $f\in L^2([0,2\pi])$ ，有 $S_Nf\to f$ 于 $L^2$ 范数，并满足 Parseval 等式

\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(x)|^2\,dx =\sum_{n\in\mathbb Z}|\widehat f(n)|^2.

这些结论是均方意义的；逐点或一致收敛需要额外正则性，不能由 $L^2$ 结论直接推出。

直觉

周期把允许频率离散成整数。每个 $e^{inx}$ 是一种纯振荡模式，Fourier 系数就是函数在该正交方向上的投影。部分和不是凭经验挑选三角函数，而是给定频率预算 $|n|\le N$ 时的最佳 $L^2$ 近似。

空间域中的平移只改变各频率的相位，微分则把第 $n$ 个系数乘以 $in$ 。因此周期微分方程、波动与滤波可以在频率坐标中逐模态处理。不过这种“对角化”首先是函数空间结论，不能用有限采样的 FFT 图像替代收敛分析。

例子与边界

取 $2\pi$ -周期方波 $f(x)=1$ （ $0<x<\pi$ ）及 $f(x)=-1$ （ $-\pi<x<0$ ）。它只有奇数正弦频率，部分和在连续点趋近函数值，在跳跃点趋向左右极限的平均值。跳跃附近的过冲不会随 $N$ 消失，只会被压缩到更窄区域，这就是 Gibbs 现象；因此点态多数位置收敛不等于一致收敛。

连续函数的 Fourier 级数也不能在没有额外条件时宣称处处或一致收敛。另一方面， $L^2$ 元素是几乎处处等价类，级数的 $L^2$ 极限不为每个具体点指定代表值。实三角形式与复指数形式可以互换，但系数中的 $2$ 与 $\pi$ 取决于归一化；跨页计算必须坚持本页约定。

推论与应用

Parseval 等式把信号能量分解到频率上，正则性则常表现为高频系数更快衰减。Fourier 级数服务于周期边值问题、热方程与波方程，也为有限循环上的离散 Fourier 变换提供概念背景。

非周期函数改用连续频率的Fourier 变换；其 $L^2$ 等距延拓由Plancherel 定理给出。FFT是有限离散变换的算法，不是本页无穷级数定义本身。

参考资料

Elias M. Stein and Rami Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction, Princeton University Press, 2003，Chs. 1–2, Fourier series and convergence。
Elias M. Stein and Rami Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction, Princeton Lectures in Analysis I, 2003, Chs. 2–3.

形式陈述 ​

反向链接

形式陈述