Fatou 引理

下极限在每一点只保留序列最终不可避免的质量；积分后得到的量不会超过各项积分的最终下界。它可以看作积分对点态极限的下半连续性：非负质量可以在极限中逃向无穷远，却不能通过正负抵消制造虚假的增益。证明常把下极限写成递增的尾部下确界，再调用单调收敛。

在 $\mathbb{R}$ 上取 $f_n=1_{[n,n+1]}$，则点态极限为零而每个积分为一，严格不等式出现。非负条件不能直接删除：正负部分可能发生无穷抵消，使两边无定义或方向失效。若 $f_n\to f$ a.e. 且 $|f_n|\le g\in L^1$，对 $g\pm f_n$ 分别应用 Fatou 可导出控制收敛定理。Fatou 给的是单向下半连续性，不保证积分收敛。

若 $f_n=n{\mathbf{1}}_{(0,1/n)}$，则几乎处处 $f_n\to 0$，而每个积分都为一；Fatou 只给 $0\le 1$，并不承诺等号。在这个尖峰例子中，$x>0$ 固定后，只要 $n>1/x$，就有 $f_n(x)=0$；同时底宽 $1/n$ 乘高度 $n$ 恒为 $1$。质量消失的原因是集中到越来越小的集合，与前一个例子“移向无穷远”不同。

若改取 $g_n=-f_n$，去掉非负条件后会得到 $0\le -1$ 的错误方向，说明不能直接对有符号函数套用原式。

单调收敛定理理路单调收敛定理Monotone convergence theorem非负可测函数单调递增时，积分极限等于极限函数积分。可推出 Fatou，引理又可与上界函数组合证明控制收敛定理理路控制收敛定理Dominated convergence theorem几乎处处收敛且被同一可积函数控制时，可以交换极限与积分。。它以Lebesgue 积分理路Lebesgue 积分Lebesgue integral从简单函数积分出发，按单调逼近定义非负、扩展值与可积函数的积分。和可测函数理路可测函数Measurable function使目标空间可测集的原像都属于定义域 σ-代数的函数。为基础，在概率极限、变分法与弱收敛中负责把近似解的能量下界传递到极限。