形式陈述

若 $f_n:X\to[0,\infty]$$f_n:X\to [0,\mathrm{\infty }]$ 可测，则 Fatou 引理称

$$ \int_X\liminf_{n\to\infty}f_n\,d\mu \le\liminf_{n\to\infty}\int_X f_n\,d\mu. $$$${\int }_X\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{f}_{n}d\mu \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{\int }_X{f}_{n}d\mu .$$

证明令 $g_k=\inf_{n\ge k}f_n$$g_k=\underset{n\ge k}{inf}{f}_n$，则 $g_k\uparrow\liminf f_n$$g_k\uparrow lim inf{f}_n$，再应用单调收敛定理。若存在可积函数 $h$$h$ 使 $f_n\ge h$$f_n\ge h$，可对 $f_n-h$$f_n-h$ 使用同一结论。反向的上极限不等式需要共同可积上界或其他条件。

直觉

极限过程可能让质量逃到远处或集中成尖峰，积分在极限中会“损失”质量，却不能无条件凭空获得比积分下极限更多的非负质量。

例子与边界

在 $\mathbb R$$\mathbb{R}$ 上取 $f_n=1_{[n,n+1]}$$f_n=1_{[n,n+1]}$，则点态极限为零而每个积分为一，严格不等式出现。非负条件不能直接删除：正负部分可能发生无穷抵消，使两边无定义或方向失效。若 $f_n\to f$$f_n\to f$ a.e. 且 $|f_n|\le g\in L^1$$|f_n|\le g\in L^1$，对 $g\pm f_n$$g\pm f_n$ 分别应用 Fatou 可导出控制收敛定理。Fatou 给的是单向下半连续性，不保证积分收敛。

推论与应用

Fatou 引理是变分法、概率极限、弱收敛和存在性证明中的紧凑工具，用于从近似序列传递积分下界。

参考资料

• Gerald B. Folland, Real Analysis, 2nd ed., Wiley, 1999，§2.3, Fatou's lemma and consequences。
• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1987，Ch. 1, Fatou's lemma。