测度族的紧性

紧性排除“质量向任何有限观察范围之外持续逃逸”。每次给定容许遗漏的比例 $\epsilon$，都能找到一个共同的紧容器，装下每个分布至少 $1-\epsilon$ 的质量。容器可以随着精度要求扩大，但不能为每个分布单独定制。

单个概率分布尾部很轻，不足以说明整个参数族一致紧。若分布中心随参数不断远移，每个成员都能被某个紧集装住，却不存在一个紧集同时装住全部成员。紧性关心的正是这种统一尾部控制，而不是逐个分布的局部性质。

紧集的作用不只是“有界”。在无限维空间或非完备子空间中，闭有界集未必紧；只证明二阶矩有界后选一个大球，仍要确认该球或更精细的集合确实紧。有限维欧氏空间借 Heine–Borel 定理让这一步看起来简单，推广时不能把它省掉。

固定 $M\ge 0$、$V>0$，考虑实线上所有满足

的分布 $N(m,{\sigma }^2)$，并允许 $\sigma =0$ 的退化情形。若 $X$ 服从其中任一分布，则对 $R>M$，Chebyshev 不等式理路Chebyshev 不等式Chebyshev's inequality随机变量偏离均值至少给定距离的概率由方差除以距离平方控制。给出

给定 $\epsilon >0$，取任意 $R>M+\sqrt{V/\epsilon }$，便有 $V/(R-M{)}^2<\epsilon$。于是紧区间 $[-R,R]$ 对整族统一留下严格少于 $\epsilon$ 的尾部，该族确实满足定义中的量词。计算同时显示真正起作用的是均值位置和方差的统一界。

族 $\{{\delta }_n:n\in \mathbb{N}\}$ 在 $\mathbb{R}$ 上不紧。任意紧集 $K$ 都有界，故存在 $n$ 使 $n\notin K$，于是

每个 ${\delta }_n$ 单独当然紧；失败发生在“同一个 $K$ 服务全部 $n$”这一量词上。

若 $S$ 本身紧，则任意 Borel 概率测度族自动紧，只需取 $K_{\epsilon }=S$。反过来，测度族紧并不表示 $S$ 紧，也不表示族在总变差距离下预紧。点质量族 $\{{\delta }_x:x\in [0,1]\}$ 紧，但不同点质量之间的总变差距离为 $1$；弱拓扑才能感受到 $x$ 的连续移动。

一致矩界是常见充分条件，却不是定义。在 ${\mathbb{R}}^d$ 中，若某个 $p>0$ 满足 $\underset{\mu }{sup}\int \Vert x{\Vert }^{p}d\mu \le C<\mathrm{\infty }$，Markov 不等式理路Markov 不等式Markov's inequality非负随机变量超过阈值的概率由其期望除以阈值控制。给 $\underset{\mu }{sup}\mu (\Vert x\Vert >R)\le C/R^p$，配合闭球紧致得到紧性。在无限维 Banach 空间中闭球通常不紧，同一计算只给“有界尾部”，不能直接推出紧性。

Prokhorov 定理在 Polish 空间上说明：概率测度族紧，当且仅当它在弱拓扑中相对紧。于是要从任意分布序列抽出弱收敛子列，可以把问题转成构造共同紧集；反过来，若候选族已有弱相对紧性，便不会有质量系统性逃逸。

弱收敛序列 ${\mu }_n\Rightarrow \mu$ 在 Polish 空间上组成紧族 $\{{\mu }_n:n\ge 1\}\cup \{\mu \}$。这里不能假定紧集的小邻域仍有紧闭包。选定相容完备度量后，对每个 $m\ge 1$ 用可数个半径 $2^{-m}$ 的开球覆盖空间，先取有限个球的并 $G_m$，使 $\mu (G_m)>1-\epsilon 2^{-m-2}$。Portmanteau 定理理路Portmanteau 定理Portmanteau theorem · Portmanteau lemma · 移植定理把概率测度的弱收敛等价改写为开闭集不等式、半连续函数不等式与连续集上的测度收敛。保证充分靠后的 ${\mu }_n(G_m)>1-\epsilon 2^{-m-1}$；再添加有限个同半径球，照顾余下有限个 ${\mu }_n$。

于是所有这些测度在 $G_m$ 外的质量都小于 $\epsilon 2^{-m-1}$。集合 $K=\bigcap _{m\ge 1}\overline{G_m}$ 闭且全有界，完备性使它紧；可数并集界理路并集界Union bound · Boole 不等式多个坏事件中至少一个发生的概率，不超过各事件概率之和。又给出每个测度在 $K$ 外的质量至多 $\sum _{m\ge 1}\epsilon 2^{-m-1}=\epsilon /2<\epsilon$。逐层有限覆盖同时控制了尾部质量与小尺度几何。

随机过程的函数空间极限通常分成两项：先证明有限维分布收敛，再证明过程律在路径空间中紧。前者确定任何可能子列极限的坐标行为，后者保证确实存在子列极限；只有两步结合，才能排除轨迹在越来越细的时间尺度上失控。

研究指数级小概率时，普通紧性可能放过比目标事件更大的逃逸质量。指数紧性理路指数紧性Exponential tightness以任意强度的指数尾控制质量逃向无穷，将紧集上界升级为所有闭集上界。要求通过扩大一个不随样本量变化的紧集，把外部概率压到任意指定指数成本，是将紧集大偏差上界升级到所有闭集的重要条件。