上同调的可表性

一项上同调类原本是“余循环模余边界”的代数商。可表性给出另一幅图像：它等价于把整个 $X$ 映入一只通用测量空间，而所有具体类都只是通用类 ${\iota }_n$ 的拉回。这样，对每个空间分别定义的对象，被一只代表空间和一个通用元素统一编码。

自然性是这幅图像的核心。如果先沿 $a:X^{\prime }\to X$ 拉回上同调类，与先把分类映射 $f$ 预合成 $a$，得到完全相同结果。仅仅为每个 $X$ 找到大小相同的集合不够；若这些对应不与所有映射相容，就没有可表性，也无法从通用类推出自然运算。

$K(\mathbb{Z},2)$ 可取 ${\mathbb{CP}}^{\mathrm{\infty }}$，令 $u\in H^2({\mathbb{CP}}^{\mathrm{\infty }};\mathbb{Z})$ 为通用生成元。有限复射影空间的标准包含

满足 $j_m^{\ast }u=x$，其中

于是 $j_m$ 表示 $H^2({\mathbb{CP}}^m;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$ 的生成元；将分类映射与 $K(\mathbb{Z},2)$ 上的“乘 $k$”映射复合，就表示 $kx$。在线丛语言中，这正把一阶 Chern 类 $kx$ 对应到通用线丛的拉回。

对 $X=S^n$，双射退化为

球面生成类送到所选 $g\in G$，而零元对应常值映射。这个计算核对了代表空间唯一的非零同伦群确实位于第 $n$ 维。

边界首先在空间类别。对任意点集拓扑空间，奇异上同调仍有定义，但 $[X,K(G,n)]$ 可能只看见 CW 逼近后的信息；若 $X$ 没有 CW 型，不能未经说明就把自然双射当作点集层面的分类。其次，双射发生在同伦类之间，不是每个余循环对应唯一连续映射。最后，$n\ge 2$ 时代表群必须阿贝尔；不能用不存在的 $K(G,n)$ 表示非阿贝尔“系数上同调”。

任意自然上同调运算

由一个通用值 $\theta ({\iota }_n)\in {\tilde{H}}^m(K(G,n);H)$ 完全确定：对 $x=f^{\ast }{\iota }_n$，自然性强迫 $\theta (x)=f^{\ast }\theta ({\iota }_n)$。这把“对所有空间验证一个运算”化为“在一个代表空间上计算一个类”，是 Steenrod 运算分类的起点。

广义约化上同调理论若在各维都有相容代表空间，悬挂同构会把它们组织成谱。普通上同调对应 Eilenberg–Mac Lane 谱。由此可表性同时连接范畴论的 Yoneda 观点、空间的 Postnikov 分层与稳定同伦中的谱，而每一步保留的都是自然映射关系，不是对象的字面相等。