Eilenberg–Mac Lane 空间

普通空间往往在许多维数同时有同伦群，彼此还通过作用和高阶运算耦合。$K(G,n)$ 像一个只亮一层的校准器：所有维数都熄灭，只在第 $n$ 层留下 $G$。把映射送进这个校准器，便能隔离某一维上同调；把它作为纤维逐层粘合，又能重建一般空间的 Postnikov 塔。

唯一性只到同伦。可以用无限胞腔、分类空间、单纯阿贝尔群的几何实现等不同方法构造 $K(G,n)$，所得空间未必同胚，却具有相同 CW 同伦型。恰是这种模型独立性，使它适合代表函子。

$S^1$ 是 $K(\mathbb{Z},1)$：${\pi }_1(S^1)=\mathbb{Z}$，万有覆叠 $\mathbb{R}$ 可缩，所以所有更高同伦群为零。无限实射影空间 ${\mathbb{RP}}^{\mathrm{\infty }}$ 的万有覆叠 $S^{\mathrm{\infty }}$ 可缩，故它是 $K(\mathbb{Z}/2,1)$。

更高维的经典模型是

Hopf 主丛的无限维版本给出纤维化

其中 $S^{\mathrm{\infty }}$ 可缩。长正合列于是给出

同时 $H^{\ast }({\mathbb{CP}}^{\mathrm{\infty }};\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}[u]$、$|u|=2$，通用类 $u$ 后来分类复线丛的第一 Chern 类。

不是每个群都能放在任意高度。若 $G=S_3$，则 $K(S_3,1)$ 合法，而 $K(S_3,2)$ 不存在，因为 ${\pi }_2$ 必交换。球面 $S^n$ 在 $n\ge 2$ 时也不是 $K(\mathbb{Z},n)$：虽然 ${\pi }_n(S^n)=\mathbb{Z}$，但例如 ${\pi }_3(S^2)=\mathbb{Z}$ 仍非零。只核对目标维数而忽略其余维数，会错把许多空间认作 Eilenberg–Mac Lane 空间。

对离散群 $G$，$K(G,1)$ 是群的分类空间，覆叠和主 $G$-丛可转成到它的映射；$K(G,n)$（$n\ge 2$）表示普通上同调，并把自然上同调运算转成表示空间上的通用类。其环路空间满足

这与同伦群降一维完全一致；相应悬挂关系只通过伴随表达，不能反向宣称 $\mathrm{\Sigma }K(G,n-1)$ 总与 $K(G,n)$ 等价。

在 Postnikov 分解中，第 $n$ 层纤维是 $K({\pi }_{n}X,n)$，而粘合方式由下一维上同调类控制。不同 $k$-不变量即便拥有相同的各阶同伦群，也能产生不同同伦型，说明一串群本身仍不是空间的完整编码。

有限乘积也可直接核验模型的代数行为：

因为乘积的各阶同伦群逐项等于两因子的乘积，除第 $n$ 维外全部为零。对 $n\ge 2$ 的阿贝尔群，有限乘积与直和相同。这个公式只刻画有限乘积；无穷乘积还要核对拓扑、CW 型和同伦群与极限交换的条件。