相对同伦群

绝对同伦要求一只球面在 $X$ 中能否填成圆盘；相对同伦允许圆盘边缘在 $A$ 上滑动，问的是这种填充能否进一步推回 $A$。因此它测量的不是补集 $X\setminus A$，而是“从 $A$ 向 $X$ 加入了哪些新的填充能力”。边界映射把一张相对圆盘送回它在 $A$ 上留下的边缘，恰好定位填充失败的障碍。

基点固定仍不可省略。边缘虽能在 $A$ 内移动，指定点必须钉在 $x_0$；否则拼接没有共同锚点，群运算和基本群作用都失去一致性。对单连通或更高连通的空间对，这些作用常会简化，但简化是结论，不是定义。

取 $(D^n,S^{n-1},s_0)$。恒等圆盘映射给出一个相对类。因为 $D^n$ 可缩，配对的同伦长正合列公理库同伦长正合列Long exact sequence of homotopy groups · Homotopy exact sequence把空间对或纤维化中的提升障碍按维数连接起来的正合序列。在 $n\ge 2$ 的相关部分化为

故 $\partial$ 是同构，并得到

恒等圆盘类的边界正是球面的恒等类；若把边界映射方向反写，便无法得到这项可核算结果。

另一极端是 $A=X$。每张相对圆盘都可在 $A$ 内处理，故 ${\pi }_n(X,X,x_0)=0$（在群维数范围内）。若 $A=\{x_0\}$，则边界全部固定在基点，${\pi }_n(X,\{x_0\},x_0)\cong {\pi }_n(X,x_0)$。这两个边界情形说明相对群依赖的是嵌入 $A\subseteq X$，不是 $X\setminus A$ 的普通同伦群。

商映射 $q:X\to X/A$ 总会诱导比较映射，但不能无条件声称

对 CW 对，精确的稳定范围如下：若 $(X,A)$ 为 $r$-连通、$A$ 为 $s$-连通，且 $r,s\ge 0$，则 $q_{\ast }:{\pi }_i(X,A)\to {\pi }_i(X/A)$ 在 $i\le r+s$ 时是同构，在 $i=r+s+1$ 时是满射。超出这个范围，cofibration 本身并不保证同构，基本群作用也可能留下差异；对非良好空间对，商拓扑还会带来额外问题。因而原始定义仍应保留为三元组映射，而不是把商空间公式当作定义。

相对群把“映射延拓到圆盘”转成正合性判据。对带基点类 $[\alpha ]\in {\pi }_{n-1}(A)$，映射 $\alpha :S^{n-1}\to A$ 能延拓为 $D^n\to X$，当且仅当 $i_{\ast }[\alpha ]=0\in {\pi }_{n-1}(X)$；由长正合列，这又等价于 $[\alpha ]$ 落在边界映射 $\partial :{\pi }_n(X,A)\to {\pi }_{n-1}(A)$ 的像中。由此可严格表达空间对的连通度、胞腔附着怎样改变低阶同伦，以及胞腔逼近为何能逐维修正映射。

在 CW 对中，逐胞腔附着让相对群成为障碍论的自然容器；在纤维化中，相似的提升问题又产生纤维长正合列。两者形式相像，却来自不同几何数据：前者固定一个子空间，后者固定一个投影及其纤维，不能仅凭正合列外形把它们视作同一构造。

相对群的消失还精确表达映射的连通度：在常用约定下，包含 $A\hookrightarrow X$ 为 $k$-连通，意味着 ${\pi }_i(X,A,x_0)=0$ 对 $i\le k$，并对所有相关分支和基点成立。这个条件说明低于等于 $k$ 维的球面延拓没有新障碍；只在某一个基点验证，或遗漏 ${\pi }_0$ 的满射条件，都不足以得到全局连通性结论。