形式陈述

设 $P$$P$ 为有限偏序集。其 Möbius 函数 $\mu:P\times P\to\mathbb Z$$\mu :P\times P\to \mathbb{Z}$ 在 $x\le y$$x\le y$ 时递归定义为

$$ \mu(x,x)=1, \qquad \mu(x,y)=-\sum_{x\le z<y}\mu(x,z), $$$$\mu (x,x)=1,\mu (x,y)=-\sum _{x\le z<y}\mu (x,z),$$

而 $x\nleq y$$x\nleqq y$ 时取零。等价地，

$$ \sum_{x\le z\le y}\mu(x,z)=\delta_{xy}. $$$$\sum _{x\le z\le y}\mu (x,z)={\delta }_{xy}.$$

若函数 $f,g:P\to A$$f,g:P\to A$（$A$$A$ 为阿贝尔群）满足

$$ g(y)=\sum_{x\le y}f(x), $$$$g(y)=\sum _{x\le y}f(x),$$

则 Möbius 反演给出

$$ f(y)=\sum_{x\le y}\mu(x,y)g(x). $$$$f(y)=\sum _{x\le y}\mu (x,y)g(x).$$

这是关联代数中 zeta 函数的卷积逆。

直觉

前缀求和把每点值累加到所有更大元素；Möbius 函数用带符号的局部修正逐层消除重复累积，是偏序版的容斥。

例子与边界

在正整数约数偏序上，$\mu(1,n)$$\mu (1,n)$ 恢复经典数论 Möbius 函数，因此若 $g(n)=\sum_{d\mid n}f(d)$$g(n)=\sum _{d\mid n}f(d)$，则 $f(n)=\sum_{d\mid n}\mu(n/d)g(d)$$f(n)=\sum _{d\mid n}\mu (n/d)g(d)$。在布尔格 $2^{[n]}$$2^{[n]}$ 上，$\mu(S,T)=(-1)^{|T\setminus S|}$$\mu (S,T)=(-1{)}^{|T\setminus S|}$，反演就是容斥。有限性可放宽为局部有限偏序集，使每个区间有限；若区间无限，求和和卷积需额外收敛或有限支撑条件。公式方向必须一致：下闭前缀求和与上闭求和使用相应交换变量的版本。

推论与应用

偏序 Möbius 反演统一容斥、约数反演、面格计数和组合结构的“累积量—原始量”转换。

参考资料

• Richard P. Stanley, Enumerative Combinatorics, Vol. 1, 2nd ed., Cambridge University Press, 2011，Ch. 3, incidence algebras and Möbius inversion。
• Gian-Carlo Rota, “On the Foundations of Combinatorial Theory I: Theory of Möbius Functions,” Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete 2, 1964, pp. 340–368，Full paper, Möbius functions on locally finite posets。