偏序集 Möbius 反演

若 $g(y)$ 累加了所有 $x\le y$ 的局部贡献 $f(x)$，Möbius 反演就在偏序的区间结构上逐层消去重复累计。Möbius 函数是 zeta 函数在关联代数中的卷积逆；链、子集格和整除格只是同一机制的不同坐标。它不是连续分析中的 Möbius 变换。

在正整数约数偏序上，$\mu (1,n)$ 恢复经典数论 Möbius 函数，因此若 $g(n)=\sum _{d\mid n}f(d)$，则 $f(n)=\sum _{d\mid n}\mu (n/d)g(d)$。在布尔格 $2^{[n]}$ 上，$\mu (S,T)=(-1{)}^{|T\setminus S|}$，反演就是容斥。有限性可放宽为局部有限偏序集，使每个区间有限；若区间无限，求和和卷积需额外收敛或有限支撑条件。公式方向必须一致：下闭前缀求和与上闭求和使用相应交换变量的版本。

在三元素链 $a<b<c$ 上，Möbius 函数满足 $\mu (a,a)=1$、$\mu (a,b)=-1$，并由递推得到

若 $g(x)=\sum _{y\le x}f(y)$，于是 $f(c)=g(c)-g(b)$；中间隔着两个层级并不意味着反演系数必非零。这个小例子把 Möbius 函数看成 zeta 变换在关联代数中的卷积逆，而不是一套只属于整除关系的符号公式。

偏序理路偏序Partial order · Partially ordered set满足自反、反对称和传递性的关系。的区间卷积统一容斥原理理路容斥原理Inclusion–exclusion principle · PIE通过交集的交替和修正多个有限集合并集的重复计数。与数论除数和反演。它可从“至多”“包含于”“周期整除”等累计计数中恢复精确计数，并在格理路格Lattice · Lattice order任意两元素都有最大下界与最小上界的偏序集。、多面体面格计数、特征多项式与组合物种中出现。选择正确偏序往往比代数展开本身更关键。

在布尔格上，如果函数值只依赖集合大小，子集累计便压缩成 $b_n=\sum _k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a_k$。二项式反演理路二项式反演与序列变换Binomial inversion · Binomial transform证明二项式三角变换的显式逆，并分别推导OGF代换和EGF乘法，说明按大小合并的对称性前提。给相应序列逆式，并分别推导OGF代换与EGF乘法。若同样大小的子集贡献不同，则不能作这种压缩；下降集合计数理路排列下降集合的精确计数Descent-set enumeration · Exact descent set · MacMahon descent-set formula先数下降只能出现在指定切口的排列，再用子集容斥恢复恰好下降集合，区分位置统计与下降总数。保留完整的切口集合，先计“包含于”，再恢复“恰等于”。

环面周期点计数理路环面仿射映射的周期点Periodic points of affine toral maps · Toral endomorphism periodic points · 环面整数矩阵周期计数把仿射环面的迭代固定方程化为Smith同余证书，分别返回空集、有限点或正维子环面，再恢复最小周期点与轨道。把“周期整除”落实为三种不同数量：$F_n$ 是被第 $n$ 次迭代固定的点数，$P_n$ 是最小周期恰为 $n$ 的点数，$O_n$ 是长度恰为 $n$ 的轨道数。有限时有 $F_n=\sum _{d\mid n}{P}_d$，所以 $P_n=\sum _{d\mid n}\mu (n/d)F_d$，最后才除以 $n$ 得 $O_n$。例如 $F_1=2,F_2=12$ 给十个最小二周期点、五条二周期轨道；直接把十二除以二会把不动点误计入。