偏序集 Möbius 反演

若 $g(y)$ 累加了所有 $x\le y$ 的局部贡献 $f(x)$，Möbius 反演就在偏序的区间结构上逐层消去重复累计。Möbius 函数是 zeta 函数在关联代数中的卷积逆；链、子集格和整除格只是同一机制的不同坐标。它不是连续分析中的 Möbius 变换。

在正整数约数偏序上，$\mu (1,n)$ 恢复经典数论 Möbius 函数，因此若 $g(n)=\sum _{d\mid n}f(d)$，则 $f(n)=\sum _{d\mid n}\mu (n/d)g(d)$。在布尔格 $2^{[n]}$ 上，$\mu (S,T)=(-1{)}^{|T\setminus S|}$，反演就是容斥。有限性可放宽为局部有限偏序集，使每个区间有限；若区间无限，求和和卷积需额外收敛或有限支撑条件。公式方向必须一致：下闭前缀求和与上闭求和使用相应交换变量的版本。

在三元素链 $a<b<c$ 上，Möbius 函数满足 $\mu (a,a)=1$、$\mu (a,b)=-1$，并由递推得到

若 $g(x)=\sum _{y\le x}f(y)$，于是 $f(c)=g(c)-g(b)$；中间隔着两个层级并不意味着反演系数必非零。这个小例子把 Möbius 函数看成 zeta 变换在关联代数中的卷积逆，而不是一套只属于整除关系的符号公式。

偏序公理库偏序Partial order · Partially ordered set满足自反、反对称和传递性的关系。的区间卷积统一容斥原理公理库容斥原理Inclusion–exclusion principle · PIE通过交集的交替和修正多个有限集合并集的重复计数。与数论除数和反演。它可从“至多”“包含于”“周期整除”等累计计数中恢复精确计数，并在格公理库格Lattice · Lattice order任意两元素都有最大下界与最小上界的偏序集。、多面体面格计数、特征多项式与组合物种中出现。选择正确偏序往往比代数展开本身更关键。