分配格

分配律断言"先合并再取公共部分"与"分别取公共部分再合并"总给出同一结果，这恰好是集合交并运算的行为，所以分配格可以理解为"表现得像一族集合的格"。Birkhoff 定理把这句口号升级为定理：有限时，每个分配格确实同构于某族对交并封闭的集合。反过来看，一般格中的"并"常会产生凭空多出的元素——两条直线的并张成整个平面——这正是子空间格违反分配律的根源；$M_3$ 与 $N_5$ 是这种失效的最小样板，禁用它们等价于排除一切非集合式行为。有效的心智图像是把格元素想成偏序集中的下闭区域：交与并就是区域的交与并，join-不可约元素对应由单个点生成的主下集。

正例很常见：任意非空全序理路全序Total order · Linear order任意两个元素都可比较的偏序。是分配格，此时 $\wedge ,\vee$ 就是 $min,max$，分情况即可验证；集合的幂集理路幂集Power set把 A 的每一种子集选择提升为元素所得的集合，记作 P(A)。格 $(\mathcal{P}(X),\cap ,\cup )$、任意拓扑空间理路拓扑空间Topological space在集合上指定满足并与有限交公理的开集族，以编码邻近、连续和极限。的开集格也是分配格；正整数 $n$ 的因子按整除理路整除Divisibility存在整数倍关系时定义的二元关系。排序、以 $gcd$ 与 $\mathrm{lcm}$ 为交并同样构成分配格。以 $12$ 的因子格为例：$gcd(4,\mathrm{lcm}(2,3))=gcd(4,6)=2$，而 $\mathrm{lcm}(gcd(4,2),gcd(4,3))=\mathrm{lcm}(2,1)=2$，两侧一致。

典型反例来自线性代数：在 ${\mathbb{R}}^2$ 中取三条过原点的不同直线 $L_1,L_2,L_3$，则 $L_3\wedge (L_1\vee L_2)=L_3\cap {\mathbb{R}}^2=L_3$，而 $(L_3\wedge L_1)\vee (L_3\wedge L_2)=\{0\}$。这五个子空间 $\{0\},L_1,L_2,L_3,{\mathbb{R}}^2$ 恰好构成一个 $M_3$：子空间格是模格，却不是分配格，可见分配性严格强于模性。使用禁用子格刻画时要注意，"子格"必须对原格的交与并封闭，仅仅序嵌入五个元素不算数。

还有两处常见误区。其一，布尔代数是有补的分配格，但分配格未必有补：三元链 $0<a<1$ 中 $a$ 没有补元。其二，Birkhoff 表示中 join-不可约元素不包括底元；而且该表示只对有限格成立，无限分配格不能声称同构于某个偏序集的全部下闭集，需要 Stone、Priestley 对偶等更细致的表示理论。

分配格是多个领域共用的骨架。逻辑方向，命题逻辑理路命题逻辑Propositional logic · Propositional calculus研究命题如何通过逻辑联结词组合以及公式在真值赋值下何时成立。公式在合取与析取下的等价类构成分配格，添上否定即得布尔代数。拓扑方向，开集格是分配格，这一观察是无点拓扑（frame 与 locale 理论）的出发点。组合方向，Birkhoff 定理在有限分配格与有限偏序集之间建立了完整的双向翻译，使下闭集计数、链与反链结构以及偏序集上的 Möbius 反演理路偏序集 Möbius 反演Möbius inversion on posets在局部有限偏序集的区间和变换中用 Möbius 函数恢复原函数。可以在两种语言之间自由切换；这一对应常称为有限分配格基本定理，是偏序组合学的基本工具。