形式陈述

格 $L$$L$ 称为分配格，若对任意 $x,y,z\in L$$x,y,z\in L$，

$$ x\wedge(y\vee z)=(x\wedge y)\vee(x\wedge z), $$$$x\wedge (y\vee z)=(x\wedge y)\vee (x\wedge z),$$

以及对偶式

$$ x\vee(y\wedge z)=(x\vee y)\wedge(x\vee z) $$$$x\vee (y\wedge z)=(x\vee y)\wedge (x\vee z)$$

成立。在格中任一条分配律可推出另一条。任意全序、集合幂集格 $(\mathcal P(X),\cap,\cup)$$(\mathcal{P}(X),\cap ,\cup )$ 及任意拓扑的开集格都是分配格。有限分配格的 Birkhoff 表示定理称：每个有限分配格同构于其 join-不可约元素偏序的下闭集格。格分配当且仅当不含五元格 $M_3$$M_3$ 或 $N_5$$N_5$ 作为子格。

直觉

分配律保证“先合并再取共同部分”和“分别取共同部分再合并”一致，使格运算具有类似集合交并的代数行为。

例子与边界

布尔代数是有补的分配格，但分配格未必有补，例如三元素链。子空间格通常是模格却不分配：平面中取三条不同直线可形成 $M_3$$M_3$ 型反例。这里禁止的是作为子格的 $M_3,N_5$$M_3,N_5$，不是任意序嵌入。有限 Birkhoff 表示中的下闭集按并与交构成格，join-不可约元素不包括底元。无限分配格也有更深的表示理论，但不能直接声称是某个有限偏序的全部下闭集。

推论与应用

分配格连接集合系统、逻辑代数、拓扑开集、有限偏序和数据库查询语义。

参考资料

• Richard P. Stanley, Enumerative Combinatorics, Vol. 1, 2nd ed., Cambridge University Press, 2011，§3.4, distributive lattices and finite Birkhoff representation。
• Garrett Birkhoff, Lattice Theory, 3rd ed., American Mathematical Society, 1967，Ch. II, distributive lattices and representation。