内射分解 | Codeboy's Blog

形式陈述

左 $R$ -模 $M$ 的内射分解是一个增广上链复形

0\longrightarrow M\xrightarrow{\eta}I^0 \xrightarrow{d^0}I^1\xrightarrow{d^1}I^2\longrightarrow\cdots

满足每个 $I^n$ 都是内射模，并且整个增广序列为正合列： $\eta$ 单射， $\ker d^0=\operatorname{im}\eta$ ，且

\ker d^{n+1}=\operatorname{im}d^n

对所有 $n\ge0$ 成立。它也可通过重新编号 $I_{-n}=I^n$ 看成向负次数延伸的链复形；使用哪种约定必须从头到尾一致。

若模范畴有足够多内射对象，构造可逐步进行。先选单射 $M\hookrightarrow I^0$ ，令 $C^1=\operatorname{coker}(M\to I^0)$ ；再嵌入 $C^1\hookrightarrow I^1$ ，并把 $d^0$ 定义为商映射 $I^0\twoheadrightarrow C^1$ 与该嵌入的复合。对后续余核重复此过程，即得正合复形。模范畴确有足够多内射对象，但一般 Abel 范畴需把这点列为额外假设。

直觉

投射分解从自由或投射对象向 $M$ 压下来，逐层解释关系；内射分解反向把 $M$ 放进足够宽松的陪域，再把尚未覆盖的商继续嵌入更大的内射对象。每一步的余核记录上一步没有容纳的部分，下一项负责接住它。

内射模适合做陪域，因为定义在子对象上的映射都能向外延拓。这个延拓性质既让态射可以提升到分解之间，也使反变 Hom 函子在内射项上不再丢失正合性。分解的价值不在于某个内射包本身，而在于整条正合复形及其链同伦不变量。

例子与边界

作为 $\mathbb Z$ -模， $\mathbb Q$ 与 $\mathbb Q/\mathbb Z$ 都可除，因此内射。规范列

0\longrightarrow\mathbb Z\longrightarrow\mathbb Q \longrightarrow\mathbb Q/\mathbb Z\longrightarrow0

正合，故给出 $\mathbb Z$ 的长度 $1$ 内射分解： $I^0=\mathbb Q$ 、 $I^1=\mathbb Q/\mathbb Z$ 。它非常适合计算 Ext。对 $A=\mathbb Z/n\mathbb Z$ ，

\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(A,\mathbb Q)=0,

因为有限群到无挠群的同态只能为零；而

\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(A,\mathbb Q/\mathbb Z) \cong (\mathbb Q/\mathbb Z)[n]\cong\mathbb Z/n\mathbb Z.

因此施加 $\operatorname{Hom}(A,-)$ 后的一次上同调为 $\mathbb Z/n$ ，具体记录了 $A$ 对 $\mathbb Z$ 的非分裂扩张。

只给一个嵌入 $M\hookrightarrow I^0$ 并不构成完整内射分解；必须继续处理余核并验证正合性。把所有箭头机械反向也不会从投射分解得到内射分解，因为对偶范畴、左/右模和 Hom 的方差都会改变。

内射分解通常不唯一，也未必有限长。即使 $M$ 有两个不同内射嵌入，比较定理仍只承诺分解在链同伦意义下等价，不承诺逐项存在预先指定的同构。对最小内射分解等更强结论，需要 Noether 条件或局部代数背景。

推论与应用

给定 $f:M\to N$ 及内射分解 $M\to I^\bullet$ 、 $N\to J^\bullet$ ，内射延拓性质逐次构造与 $f$ 相容的上链链映射 $I^\bullet\to J^\bullet$ 。任意两个提升链同伦，换用另一内射分解也得到链同伦等价的复形。

因此对左正合协变函子 $F$ ，上同调

R^nF(M)=H^n(F(I^\bullet))

与分解选择无关，定义右导出函子。对 $F=\operatorname{Hom}_R(A,-)$ 得到 $\operatorname{Ext}_R^n(A,M)$ 。若 $M$ 本身内射，可取 $0\to M\xrightarrow{1}M\to0$ ，所有正次数右导出量消失。

参考资料

Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994，§§2.3–2.4。
Joseph J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 2009，Ch. 6, §§6.4–6.5。
Peter J. Hilton and Urs Stammbach, A Course in Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 1997，Ch. IV, §§5–6。

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