投射分解

投射分解用一串“容易从中提升映射”的模逐层记录 $M$ 的关系。$P_0$ 给生成元，$P_1$ 覆盖生成元之间的关系，$P_2$ 覆盖关系之间的关系，如此继续。正合性保证每一层没有额外误差：上一层留下的全部核，恰由下一层解释。

分解不是把 $M$ 同构成一串投射模，而是用一个无高次同调的增广复形逼近它。不同生成元会产生外观差异很大的分解；真正稳定的是它们在链同伦意义下的类型，以及施加函子后得到的同调。

对 $n>1$，$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 有长度 $1$ 的自由分解

两个 $\mathbb{Z}$ 都自由因而投射；乘 $n$ 单射，像为 $n\mathbb{Z}=\ker q$。所以

确实给出投射分解。把它与 $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ 作张量后，微分变成

其核和余核可直接计算，并揭示张量函子没有保持原短正合列左端的程度。

只要求每个 $P_n$ 投射而不要求增广列正合，不是 $M$ 的分解；只要求复形无同调却没有指定 $P_0\to M$，也没有说明它在逼近哪个模。反过来，分解的微分通常不分裂；若每一小段都分裂，复形会丢失用于记录 $M$ 同调维数的粘合信息。

投射分解与对偶的内射分解公理库内射分解Injective resolution从给定模嵌入并向高次数延伸、由内射模组成且正次数无上同调的增广复形。方向相反：前者向 $M$ 满射并向左延伸，后者从 $M$ 单射出去并向右延伸。把内射对象放进同一条向左增广链而不调整方差，不能自动计算右导出函子。

给定模同态 $f:M\to N$ 及两个投射分解 $P_{\bullet }\to M$、$Q_{\bullet }\to N$，投射提升性质逐次构造链映射公理库链映射Chain map逐次数态射组成并与两个复形的边界算子交换的复形间映射。 $\tilde{f}:P_{\bullet }\to Q_{\bullet }$，使增广方块交换。比较定理进一步说明任意两个这样的提升链同伦；若换另一组投射分解，也存在增广恒等的链同伦等价。

逐次构造的关键是正合性。已经定义 ${\tilde{f}}_{n-1}$ 后，复合 ${\tilde{f}}_{n-1}{d}_n$ 落在 $\ker d_{n-1}^Q=\mathrm{im}{d}_n^Q$；把 $d_n^Q:Q_n\twoheadrightarrow \mathrm{im}{d}_n^Q$ 看成满射，再利用 $P_n$ 的投射性便得到 ${\tilde{f}}_n$。同样的提升对两个选择之差递归进行，产生链同伦。比较定理因此不是“分解唯一”的口号，而是一串可检查的提升步骤。

因此对右正合函子 $F$，复形 $F(P_{\bullet })$ 的同调只依赖 $M$，不依赖分解和提升选择，定义左导出函子 $L_{n}F(M)$。对张量函子得到 Tor；对第一变量的 Hom 也可用投射分解计算 Ext。若 $M$ 本身投射，可取长度 $0$ 的分解，所有正次数导出量随即消失。