蛇引理 | Codeboy's Blog

形式陈述

在 Abel 范畴中，设有交换图，其两行都是短正合列：

\begin{array}{ccccccccc} 0 & \longrightarrow & A' & \xrightarrow{i'} & B' & \xrightarrow{p'} & C' & \longrightarrow & 0 \\ & & {\scriptstyle\alpha}\!\Big\downarrow & & {\scriptstyle\beta}\!\Big\downarrow & & {\scriptstyle\gamma}\!\Big\downarrow & & \\ 0 & \longrightarrow & A & \xrightarrow{i} & B & \xrightarrow{p} & C & \longrightarrow & 0 \end{array}

则存在自然的连接态射

\delta:\ker\gamma\longrightarrow\operatorname{coker}\alpha,

其中 $\operatorname{coker}\alpha$ 是 $\alpha$ 的余核，并且下列序列正合：

0\to\ker\alpha\to\ker\beta\to\ker\gamma \xrightarrow{\delta} \operatorname{coker}\alpha\to\operatorname{coker}\beta \to\operatorname{coker}\gamma\to0.

在模范畴中，可以追逐模同态的元素，明确构造 $\delta$ 。取 $c'\in\ker\gamma$ ，由 $p'$ 满射选 $b'\in B'$ 使 $p'(b')=c'$ 。交换性给出

p(\beta b')=\gamma(p'b')=0,

故 $\beta b'\in\ker p=\operatorname{im}i$ ；选唯一 $a\in A$ 满足 $i(a)=\beta b'$ ，定义

\delta(c')=[a]\in A/\operatorname{im}\alpha.

若换一个提升 $b'$ ，两者之差属于 $\ker p'=\operatorname{im}i'$ ，可写为 $i'(a')$ 。由交换性，向下映射后的差为 $\beta i'(a')=i\alpha(a')$ ，因此对应的 $a$ 之差是 $\alpha(a')$ ，余核中的类保持不变。这样定义的 $\delta$ 与提升的选择无关。

直觉

连接态射要回答的是：给定 $c'\in\ker\gamma$ ，能否在 $B'$ 中找到一个原像，同时让这个原像也属于 $\ker\beta$ ？满射 $p'$ 保证原像存在，但先选的 $b'$ 向下走后可能得到非零元素。下排正合性把这个偏差写成 $i(a)$ ；调整 $b'$ 时， $a$ 只会改变一个来自 $\alpha(A')$ 的量。因此余核类 $[a]$ 恰好记录了调整能否消除的偏差。

图表追逐的路径先沿 $p'$ 逆向提升，再沿 $\beta$ 向下，最后沿 $i$ 逆向找原像。它把右侧的核接到左侧的余核，形成蛇形路线。

蛇引理整数模例的交换图，以及连接态射把 [2]₄ 追逐到 [1]₂ 的步骤 — 蛇引理的图表追逐

例子与边界

考虑整数模中的交换图

\begin{array}{ccccccccc} 0 & \longrightarrow & \mathbb Z & \xrightarrow{\times4} & \mathbb Z & \longrightarrow & \mathbb Z/4 & \longrightarrow & 0 \\ & & {\scriptstyle\times2}\!\Big\downarrow & & {\scriptstyle 1}\!\Big\downarrow & & {\scriptstyle\rho}\!\Big\downarrow & & \\ 0 & \longrightarrow & \mathbb Z & \xrightarrow{\times2} & \mathbb Z & \longrightarrow & \mathbb Z/2 & \longrightarrow & 0 \end{array},

其中 $\rho([x]_4)=[x]_2$ 。左方块交换，因为 $1\circ(\times4)=(\times2)\circ(\times2)$ ；右方块显然交换。这里

\ker\rho=\{[0]_4,[2]_4\}\cong\mathbb Z/2, \qquad \operatorname{coker}(\times2)\cong\mathbb Z/2.

追踪 $[2]_4$ ：选提升 $b'=2\in\mathbb Z$ ，向下仍为 $2$ ；它在下排等于 $(\times2)(1)$ ，所以

\delta([2]_4)=[1]_2.

由于两端都是二阶群，非零元映到非零元，故本例的连接态射是同构。特别地， $[2]_4$ 虽属于 $\ker\rho$ ，却无法从 $\ker(1)=0$ 提升，这正是它具有非零连接像的原因。

构造中的各项假设分别用于具体步骤：上排满射提供 $b'$ ，右方块交换使 $\beta b'\in\ker p$ ，下排正合性给出 $a$ ，左方块交换则保证改变提升后余核类不变。仅有相邻复合为零只说明像包含于核，无法保证在核中找到所需的原像。

连接点处的正合性也能由这个构造验证。若 $\delta(c')=0$ ，就有 $a=\alpha(a')$ 。把提升改成 $b'-i'(a')$ 后，向下映射得到 $\beta b'-\beta i'(a')=i(a)-i\alpha(a')=0$ ，而它经 $p'$ 仍映到 $c'$ ，所以 $c'$ 来自 $\ker\beta$ 。反过来，若一开始就能在 $\ker\beta$ 中选提升，追逐得到的 $a$ 为零，于是 $\delta(c')=0$ 。这证明了 $\ker\delta=\operatorname{im}(\ker\beta\to\ker\gamma)$ 。

推论与应用

对短正合链复形逐次数应用同样的提升过程，可得到同调长正合列

\cdots\to H_n(A)\to H_n(B)\to H_n(C) \xrightarrow{\partial}H_{n-1}(A)\to\cdots,

其中降一次数的连接同态就是“先提升循环、再取边界、最后识别到左侧复形”的蛇形追逐。

短五引理也由此得到：在上面的短正合列交换图中，若 $\alpha$ 与 $\gamma$ 都是同构，则它们的核与余核全为零。六项正合列随即迫使 $\ker\beta=0$ 且 $\operatorname{coker}\beta=0$ ，所以 $\beta$ 也是同构。这样，两端的同构就通过正合列传到了中间对象。

参考资料

Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994，§1.3, Lemma 1.3.2。
Joseph J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 2009，Ch. 2, §2.1。
Peter J. Hilton and Urs Stammbach, A Course in Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 1997，Ch. II, §4。

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