蛇引理 | Codeboy's Blog

形式陈述

在 Abel 范畴中，设有交换图，其两行都是短正合列：

\begin{array}{ccccccccc} 0 & \longrightarrow & A' & \xrightarrow{i'} & B' & \xrightarrow{p'} & C' & \longrightarrow & 0 \\ & & {\scriptstyle\alpha}\!\Big\downarrow & & {\scriptstyle\beta}\!\Big\downarrow & & {\scriptstyle\gamma}\!\Big\downarrow & & \\ 0 & \longrightarrow & A & \xrightarrow{i} & B & \xrightarrow{p} & C & \longrightarrow & 0 \end{array}

则存在自然的连接态射

\delta:\ker\gamma\longrightarrow\operatorname{coker}\alpha,

使下列序列正合：

0\to\ker\alpha\to\ker\beta\to\ker\gamma \xrightarrow{\delta} \operatorname{coker}\alpha\to\operatorname{coker}\beta \to\operatorname{coker}\gamma\to0.

在模范畴中， $\delta$ 可用图表追逐明确构造。取 $c'\in\ker\gamma$ ，由 $p'$ 满射选 $b'\in B'$ 使 $p'(b')=c'$ 。交换性给出

p(\beta b')=\gamma(p'b')=0,

故 $\beta b'\in\ker p=\operatorname{im}i$ ；选唯一 $a\in A$ 满足 $i(a)=\beta b'$ ，定义

\delta(c')=[a]\in A/\operatorname{im}\alpha.

若换一个提升 $b'$ ，两者之差来自 $A'$ ，对应的 $a$ 之差落在 $\operatorname{im}\alpha$ ，所以余核类不变。这个独立性论证与六个位置的核—像检验共同构成证明，而不是图形名称本身。

直觉

连接态射记录“向上提升后无法继续保持在核里”的障碍。一个被 $\gamma$ 杀掉的元素先沿上排满射提升到 $B'$ ；它向下移动后落入下排的核，因此来自某个 $A$ 。但这个 $A$ 中的元素只在模掉 $\alpha(A')$ 后确定，于是障碍自然落在余核而不是 $A$ 本身。

图中核从左向右流动，余核也从左向右流动； $\delta$ 把两段接起来，六项序列的形状像一条绕过图表的蛇。名称帮助记忆路径，真正保证正合的是每一步“提升—交换—落入像—模去选择差异”的逻辑。

蛇引理整数模例的交换图，以及连接态射把 [2]₄ 追逐到 [1]₂ 的步骤 — 蛇引理的图表追逐

例子与边界

考虑整数模中的交换图

\begin{array}{ccccccccc} 0 & \longrightarrow & \mathbb Z & \xrightarrow{\times4} & \mathbb Z & \longrightarrow & \mathbb Z/4 & \longrightarrow & 0 \\ & & {\scriptstyle\times2}\!\Big\downarrow & & {\scriptstyle 1}\!\Big\downarrow & & {\scriptstyle\rho}\!\Big\downarrow & & \\ 0 & \longrightarrow & \mathbb Z & \xrightarrow{\times2} & \mathbb Z & \longrightarrow & \mathbb Z/2 & \longrightarrow & 0 \end{array},

其中 $\rho([x]_4)=[x]_2$ 。左方块交换，因为 $1\circ(\times4)=(\times2)\circ(\times2)$ ；右方块显然交换。这里

\ker\rho=\{[0]_4,[2]_4\}\cong\mathbb Z/2, \qquad \operatorname{coker}(\times2)\cong\mathbb Z/2.

追踪 $[2]_4$ ：选提升 $b'=2\in\mathbb Z$ ，向下仍为 $2$ ；它在下排等于 $(\times2)(1)$ ，所以

\delta([2]_4)=[1]_2.

因此本例的连接态射是同构，而不是为了补齐序列形状而放入的零映射。

若两行只有相邻复合为零却不正合，提升或“落入像”的步骤会中断，结论不成立。若图表不交换， $\beta b'$ 也未必落入 $\ker p$ 。在一般非 Abel 范畴中，核和余核即使存在，像—余像不相容仍可能破坏这条标准正合列。

正合性在连接点可直接看出。 $c'\in\ker\gamma$ 落入 $\ker\delta$ ，当且仅当追逐所得 $a$ 属于 $\operatorname{im}\alpha$ ；减去相应 $A'$ 元素在 $B'$ 中的像后，可以把所选提升改成 $\ker\beta$ 中的元素，因此 $c'$ 来自 $\ker\beta$ 。反向包含由交换性立即得到。这一小段正是整条六项序列最不自动、也最值得逐步核对的位置。

推论与应用

蛇引理是同调长正合列的局部发动机。对短正合链复形逐次数应用同样的提升过程，可得到

\cdots\to H_n(A)\to H_n(B)\to H_n(C) \xrightarrow{\partial}H_{n-1}(A)\to\cdots,

其中降一次数的连接同态就是“先提升循环、再取边界、最后识别到左侧复形”的蛇形追逐。

五引理、短五引理以及核—余核比较都可由蛇引理组织。它们的应用有明确限制：结论依赖两行的正合性与所有方块的交换性；只知道对象之间存在若干同构，若没有与箭头相容的图表，不能调用引理。

参考资料

Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994，§1.3, Lemma 1.3.2。
Joseph J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 2009，Ch. 2, §2.1。
Peter J. Hilton and Urs Stammbach, A Course in Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 1997，Ch. II, §4。

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