形式陈述

函子 $F:\mathcal C\to\mathcal D$$F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 与 $G:\mathcal D\to\mathcal C$$G:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$ 构成伴随 $F\dashv G$$F⊣G$，若存在对 $C\in\mathcal C,D\in\mathcal D$$C\in \mathcal{C},D\in \mathcal{D}$ 双自然的双射

$$ \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(F C,D) \cong \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(C,G D). $$$${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(FC,D)\cong {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(C,GD).$$

它等价于给出单位 $\eta:1_{\mathcal C}\Rightarrow GF$$\eta :1_{\mathcal{C}}\Rightarrow GF$ 与余单位 $\varepsilon:FG\Rightarrow1_{\mathcal D}$$\epsilon :FG\Rightarrow 1_{\mathcal{D}}$，满足两个三角恒等式。$F$$F$ 称左伴随，$G$$G$ 称右伴随。左伴随保持存在的余极限，右伴随保持存在的极限。伴随在自然同构意义下唯一：一个函子的伴随若存在，唯一到唯一自然同构。

直觉

伴随表示同一映射问题可以在两个范畴中等价表达。左边先自由构造再映射，右边先忘掉结构再选择原始数据；两种选择一一对应且对对象自然。

例子与边界

自由群函子 $F:\mathbf{Set}\to\mathbf{Grp}$$F:\mathbf{Set}\to \mathbf{Grp}$ 左伴随遗忘函子 $U$$U$，因为集合映射 $X\to U(G)$$X\to U(G)$ 唯一延拓为群同态 $F(X)\to G$$F(X)\to G$。积函子常是对角函子的右伴随，余积则为左伴随。伴随不意味着 $F,G$$F,G$ 互为逆或给出范畴等价；只有单位和余单位均为自然同构时才得到等价。Hom 双射必须同时对两个变量自然，逐对象偶然等势不足。一个函子可能有一侧伴随而没有另一侧。

推论与应用

伴随统一自由—遗忘、积—对角、张量—Hom 等构造，并自动导出极限保持、单子和导出函子。

参考资料

• Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, 2nd ed., Springer, 1998，Ch. IV, adjoint functors and units/counits。
• Steve Awodey, Category Theory, 2nd ed., Oxford University Press, 2010，Ch. 9, adjoints and universal arrows。