伴随

伴随把同一个映射问题放进两个范畴中解答。左侧询问如何从 $FC$ 映到 $D$，右侧询问如何从 $C$ 映到 $GD$。双射使两个问题的每个答案互相转换，自然性则保证转换与前后接入的映射相容。

自由—遗忘是最典型的图像。左伴随为一份原始数据补上所需结构，却不加入无关关系；右伴随则忘掉结构，只保留底层数据。向自由对象定义一个保结构映射时，只需指定生成数据的去向，剩余部分由泛性质唯一决定。

自由群与遗忘函子 ​

自由群函子理路自由群Free group · 自由群构造除群公理强制的逆元约消外不带任何关系，并由生成集映射的唯一延拓刻画的群。 $F:\mathbf{Set}\to \mathbf{Grp}$ 左伴随于遗忘函子 $U:\mathbf{Grp}\to \mathbf{Set}$。一个群同态 $F(X)\to H$ 由生成元 $X$ 的像唯一决定，而这些像可以任意选取。于是

左边要求保群运算，右边只是集合函数；自由群把任意集合函数唯一延拓为群同态。单位 $X\to U(F(X))$ 把每个元素送到对应生成元，余单位 $F(U(H))\to H$ 把由群元素写成的词乘起来。

若 $X$ 只有一个元素，$F(X)\cong \mathbb{Z}$，所以单位从单点集映到无限集合 $U(\mathbb{Z})$，并非同构。这个伴随提供了精确的映射对应，同时确实增加了对象中的数据。

柯里化与求值 ​

在 $\mathbf{Set}$ 中固定集合 $A$，函子 $-\times A$ 左伴随于指数函子 $(-{)}^A$：

左侧是二元输入的函数，右侧是“给定 $x$ 后返回一个关于 $a$ 的函数”。余单位在这里就是求值映射

这一伴随是函数式语言中柯里化、闭范畴和高阶函数结构的数学原型。

偏序与极限构造 ​

把偏序看成至多有一个态射的范畴时，伴随退化为 Galois 连接。整数嵌入实数的包含映射与取整函数给出具体例子：

积与余积理路范畴积与余积Categorical product · Coproduct由到各分量或从各分量的箭头所刻画的二元极限与余极限。也可由伴随统一描述。若 $\mathcal{C}$ 有所有二元积，积函子就是对角函子 $\mathrm{\Delta }:\mathcal{C}\to \mathcal{C}\times \mathcal{C}$ 的右伴随；若有所有二元余积，余积函子就是其左伴随。相应泛性质由同一伴随模式的两个方向给出。

单位与余单位都可逆的伴随给出范畴等价理路范畴等价Equivalence of categories通过互为拟逆的函子表达两个范畴具有相同的对象—态射结构。；此时两端对象能由往返构造自然恢复。上面的自由群例子则通过一个非可逆的单位展示了更一般的伴随。

左伴随保持存在的余极限理路极限与余极限Limit and colimit用锥的终对象或余锥的始对象统一积、等化子、拉回及其对偶。，右伴随保持存在的极限。由此可知遗忘函子 $U:\mathbf{Grp}\to \mathbf{Set}$ 没有右伴随：若有，它本身就是左伴随，必须把始对象送到始对象；但平凡群被送到单点集，集合范畴的始对象却是空集。另一方面，自由群函子确实是它的左伴随。

固定右伴随 $G$ 后，对每个 $C$，函子 $D\mapsto {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(C,GD)$ 由 $FC$ 表示。这把左伴随的构造化为一族可表函子理路可表函子Representable functor自然同构于某个 Hom 函子的函子。问题；通用元素就是单位 ${\eta }_C$。泛性质理路泛性质Universal property在候选结构组成的范畴中以始对象或终对象刻画构造。保证两个左伴随之间存在唯一与伴随双射相容的自然同构。

伴随还产生单子：令 $T=GF$，单位为 $\eta$，乘法为 ${\mu }_C=G({\epsilon }_{FC}):T^{2}C\to TC$。在自由群例子中，$T(X)$ 是由 $X$ 写成的约化词，$T^2(X)$ 是“以词为字母的词”；$\mu$ 将内层词展开并约化。三角恒等式和余单位自然性给出这项展开操作的单位律与结合律。