伴随

伴随表达的是：同一个映射问题可以在两个范畴中等价地提出。左侧询问如何从构造出的对象 $FC$ 映到 $D$，右侧询问如何从原始数据 $C$ 映到 $D$ 的底层对象 $GD$。两种问题的答案一一对应，而且这个对应不依赖对象的偶然表示。

自由—遗忘是最典型的图像。左伴随为一份原始数据补上所需结构，却不加入无关关系；右伴随则忘掉结构，只保留底层数据。向自由对象定义一个保结构映射时，只需指定生成数据的去向，剩余部分由泛性质唯一决定。

伴随常被称为“弱化的互逆”，但它与范畴等价公理库范畴等价Equivalence of categories通过互为拟逆的函子表达两个范畴具有相同的对象—态射结构。有本质差别。等价要求两个方向在自然同构意义下互相恢复对象；伴随只要求映射问题达到最佳匹配。单位或余单位通常不是同构，因此 $F$ 与 $G$ 可以明显改变对象，却仍然保持精确的 Hom 集对应。

自由群与遗忘函子 ​

自由群函子公理库自由群Free group · 自由群构造除群公理强制的逆元约消外不带任何关系，并由生成集映射的唯一延拓刻画的群。 $F:\mathbf{Set}\to \mathbf{Grp}$ 左伴随于遗忘函子 $U:\mathbf{Grp}\to \mathbf{Set}$。一个群同态 $F(X)\to H$ 由生成元 $X$ 的像唯一决定，而这些像可以任意选取。于是

左边要求保群运算，右边只是集合函数；自由群把任意集合函数唯一延拓为群同态。

柯里化与求值 ​

在 $\mathbf{Set}$ 中固定集合 $A$，函子 $-\times A$ 左伴随于指数函子 $(-{)}^A$：

左侧是二元输入的函数，右侧是“给定 $x$ 后返回一个关于 $a$ 的函数”。余单位在这里就是求值映射

这一伴随是函数式语言中柯里化、闭范畴和高阶函数结构的数学原型。

偏序与极限构造 ​

把偏序看成至多有一个态射的范畴时，伴随退化为 Galois 连接。整数嵌入实数的包含映射与取整函数给出具体例子：

积与余积公理库范畴积与余积Categorical product · Coproduct由到各分量或从各分量的箭头所刻画的二元极限与余极限。也可由伴随统一描述。对角函子 $\mathrm{\Delta }:\mathcal{C}\to \mathcal{C}\times \mathcal{C}$ 的右伴随是积函子，左伴随是余积函子；相应泛性质不再是两条孤立定义，而是同一伴随模式的两个方向。

伴随的边界需要逐项检查。只有当单位与余单位都是自然同构时，它才给出范畴等价。逐对象存在 Hom 集等势也不够，因为任意选择的双射可能不尊重复合。伴随还可能只存在一侧；某个函子有左伴随，并不保证它也有右伴随。

左伴随保持一切存在的余极限，右伴随保持一切存在的极限。这条原则可以直接计算复杂构造，也能反向证明某个伴随不可能存在：若候选左伴随不保持某个已存在的余极限，它就不可能真是左伴随。使用时应先确认相关极限或余极限在范畴中存在。

伴随若存在，在唯一自然同构意义下唯一。因此，“某构造是某函子的左伴随”本身就是一条泛性质公理库泛性质Universal property在候选结构组成的范畴中以始对象或终对象刻画构造。式的刻画。经由可表函子公理库可表函子Representable functor自然同构于某个 Hom 函子的函子。，伴随还可理解为一族泛箭头的可表性；这解释了为什么自由对象、积、张量和指数对象会反复出现相似的唯一延拓公式。

伴随还产生单子与余单子。复合 $GF$ 连同单位以及由余单位诱导的乘法构成单子，把“先自由构造、再忘掉结构”的过程组织为可组合的代数操作。在程序语言中，这一结构进入计算效应语义；在代数几何与同调代数中，张量—Hom、推前—拉回等伴随则控制对象在不同语境间的运输。