形式陈述

函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 是等价，若存在 $G:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$ 及自然同构 $GF\cong 1_{\mathcal{C}}$、$FG\cong 1_{\mathcal{D}}$。等价地，$F$ 全忠实且本质满。

直觉

范畴同构要求逐点完全相等，范畴等价只保留数学上可观察的结构，允许替换同构对象。

例子与边界

有限维向量空间范畴与以自然数为对象、矩阵为态射的骨架范畴等价但不相等。等价不自动保留额外的严格选择或拓扑富集。

推论与应用

说明不同模型、语法与语义何时表达同一数学，并连接伴随等价和骨架。

参考资料

• Emily Riehl, Category Theory in Context (2016), equivalences.
• Steve Awodey, Category Theory (2006/2010), equivalence of categories.