范畴等价

范畴同构由一对严格互逆的函子给出：往返后每个对象和态射都恢复为原来的对象和态射。范畴等价则允许往返后得到一个自然同构的副本。例如向量空间选基后写成坐标空间，恢复的是同一线性结构，底层集合可以不同。

全忠实保证每一对对象之间的映射及其复合都完整保留，本质满保证目标对象都能用源对象的像来表示。这两部分合起来，既对应了对象，也对应了如何在对象之间运算。

从每个同构类中选一个代表，并保留代表对象之间的全部态射，得到骨架。其包含函子全忠实且本质满，因而给出等价。例如一个范畴有两个不同对象 $A,B$，每对对象之间都恰有一个态射，则这两个对象同构；它的骨架只有一个对象和一条恒等态射。两者等价，但对象数不同，因此不可能范畴同构。

固定域 $k$，令矩阵范畴的对象为非负整数，$n\to m$ 的态射为 $m\times n$ 矩阵，复合为矩阵乘法。函子 $n\mapsto k^n$、$M\mapsto (v\mapsto Mv)$ 全忠实；每个有限维向量空间又同构于某个 $k^n$，所以它与有限维向量空间范畴等价。构造拟逆时为每个空间选基理路向量空间的基Basis of a vector space同时线性无关并张成整个向量空间的向量组。，便能把线性映射送到相应矩阵，换基理路换基与坐标变换Change of basis · Coordinate transformation用可逆过渡矩阵在不同基之间转换向量坐标与算子矩阵。则给出不同坐标表示之间的自然同构。

群也有一个完整的范畴表示：把群 $G$ 看成只有一个对象的群胚，群元素就是自同构，群乘法就是复合。两个这样的群胚之间的函子恰好对应群同态。因此，以函子为态射的单对象小群胚范畴与群范畴等价。

单看对象同构类则会漏掉态射信息。分别把平凡群与二元群看成单对象范畴，两者都只有一个对象同构类，但唯一对象的自同态集分别有 $1$ 个和 $2$ 个元素，无法全忠实对应，因此不等价。

等价把由态射泛性质理路泛性质Universal property在候选结构组成的范畴中以始对象或终对象刻画构造。定义的构造一起运输过去。例如若 $P$ 是 $\mathcal{C}$ 中 $A,B$ 的积，全忠实性把它的配对唯一性传到像对象之间；本质满性再把任意目标对象换成某个像对象的同构副本，便证明 $F(P)$ 是 $F(A),F(B)$ 的积。极限、余极限及单满态射也按同样的映射规律传递。

伴随理路伴随Adjunction两个反向函子之间由自然同构的态射集双射刻画的关系。 $F⊣G$ 的单位与余单位若都是自然同构，就给出伴随等价。反过来，等价函子可以选取拟逆和合适的单位、余单位，组成这样的伴随。一般伴随只给出 Hom 集的自然双射，不保证单位与余单位可逆；自由群—遗忘伴随中，单点集到自由循环群底层集合的单位就不是同构。

Morita 等价理路Morita 等价Morita equivalence显式构造M2(k)与k的模范畴等价，证明投射生成元判据，并通过三种代数完成带解答的单元任务。给出不同代数具有等价模范畴的具体例子：$M_2(k)$ 的模取 $e_{11}$ 分量成为 $k$-向量空间，再与 $k^2$ 张量可恢复原模。两侧自然同构由矩阵单位写出；等价保留同态和分裂性，却不保留底层向量空间维数。

构造拟逆的态射规则可以直接写出。为每个 $D\in \mathcal{D}$ 选 $G(D)$ 及同构 ${\epsilon }_D:F(G(D))\to D$。对 $h:D\to D^{\prime }$，利用全忠实性，定义 $G(h)$ 为唯一满足

的态射。这个公式保留恒等和复合，同时使 $\epsilon$ 自然。Yoneda 引理理路Yoneda 引理Yoneda lemma从可表函子到集合值函子的自然变换，由后者在代表对象处的一个元素唯一确定。给出的全忠实嵌入也常用于建立这类态射对应。