范畴等价

范畴同构要求对象和态射逐项严格相等，通常过于依赖表示。数学实践更关心一个对象的结构，而不关心它选了哪组基、使用哪套坐标或采用哪个同构副本。范畴等价正是把这些表示差异忽略掉，同时保留所有可由态射观察的结构。

全忠实负责“局部映射信息不丢失”，本质满负责“目标中没有真正新的对象”。两者缺一不可。只有对象同构类一一对应仍可能破坏 Hom 集或复合；只有全忠实而不本质满，则可能只是把一个子范畴完整嵌入更大的范畴。

拟逆也不是普通函数逆。对对象 $C$，$G(F(C))$ 往往不等于 $C$，但有自然同构把它们连接。自然性保证恢复方式与所有态射协调，因此不会因每个对象任意选择一个同构而破坏整体结构。

任一范畴都与其骨架等价。骨架从每个同构类中选一个代表，因此删除了重复副本；包含函子本质满且全忠实，却通常不是严格同构，因为原范畴可能拥有许多彼此同构但不相等的对象。

有限维向量空间范畴与“自然数为对象、矩阵为态射”的范畴等价。给向量空间选择一组基后，它同构于 $F^n$，线性映射变成矩阵。换基会改变矩阵，但只通过可逆矩阵共轭或左右变换改变表示，不会改变线性映射的范畴结构。由于选基不自然，这个等价通常不能提升为严格的规范同构。

群范畴与单对象群胚的范畴并不因为“都编码群”就自动等价；必须先明确对象、态射和保持的结构。类似地，两个范畴拥有相同数量的对象同构类，远不足以推出等价，因为每个对象之间的态射空间可能完全不同。

范畴等价保持所有纯范畴论性质，例如极限、余极限、单态射和伴随的存在性，均在自然同构意义下传递。它不必保持依赖额外严格选择的结构，例如指定的底层集合、固定坐标或未纳入态射定义的拓扑富集。

分类定理常以范畴等价为最终形式。它不只列出对象同构类，还说明对象之间的映射怎样对应。例如把某类几何对象等价到模、层或表示的范畴，会把难以直接计算的几何问题转成代数态射问题。

伴随 $F⊣G$ 若单位与余单位都是自然同构，就给出伴随等价。一般伴随只建立 Hom 集对应，并不要求对象被拟逆恢复；因此范畴等价是伴随的特殊强化，而不是所有伴随的同义词。

Yoneda 引理公理库Yoneda 引理Yoneda lemma对象到一个函子的自然变换与该函子在对象处的元素自然双射。常用于证明函子全忠实。构造拟逆时，则需要为目标中的每个对象选择一个像对象及同构，再验证这些选择能自然地作用于态射。存在性与自然性是两个独立步骤。