形式陈述

对群 $G$$G$，取交换子约定

$$ [x,y]=xyx^{-1}y^{-1}. $$$$[x,y]=xy{x}^{-1}{y}^{-1}.$$

交换子群（导出子群）$[G,G]=G'$$[G,G]=G^{\prime }$ 是所有 $[x,y]$$[x,y]$ 生成的子群。它是特征子群，因而正规；商群 $G/[G,G]$$G/[G,G]$ 为阿贝尔群，并满足泛性质：任意从 $G$$G$ 到阿贝尔群的同态都唯一经由自然投影 $G\to G/[G,G]$$G\to G/[G,G]$ 因子化。故 $G^{\mathrm{ab}}=G/[G,G]$$G^{\mathrm{ab}}=G/[G,G]$ 称为 $G$$G$ 的阿贝尔化。$[G,G]=1$$[G,G]=1$ 当且仅当 $G$$G$ 本身阿贝尔。不同文献也用 $[x,y]=x^{-1}y^{-1}xy$$[x,y]=x^{-1}{y}^{-1}xy$，两种约定生成同一子群，但公式方向会改变。

直觉

交换子逐对测量“先做 $x$$x$ 再做 $y$$y$”与反序的差异；把全部交换子压成单位元，就是强迫群交换所需的最小修改。

例子与边界

阿贝尔群的每个交换子都是单位元。对 $S_3$$S_3$，交换子群是 $A_3$$A_3$，因此 $S_3^{\mathrm{ab}}\cong C_2$$S_3^{\mathrm{ab}}\cong C_2$。自由群的交换子群很大，其阿贝尔化把自由生成元变成自由阿贝尔生成元。交换子集合本身一般不是子群，所以定义必须取“由它们生成的子群”。若 $N\trianglelefteq G$$N⊴G$ 且 $G/N$$G/N$ 阿贝尔，则每个交换子都落在 $N$$N$ 中，故 $[G,G]\le N$$[G,G]\le N$；这给出最小性。交换子群不等于群中心：前者由非交换误差生成，后者由与所有元素交换的元素组成。

推论与应用

交换子群启动导出列和可解群理论；阿贝尔化用于群同态分类、基本群的一阶同调以及从非交换对象提取首层线性信息。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，Ch. 5, commutators, derived subgroup, and abelianization。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 2, commutator subgroup and universal abelian quotient。