交换子群

恒等式 $gh=[g,h]hg$ 把交换子解释为调换乘法次序的差额。$[g,h]=e$ 恰好意味着 $g,h$ 交换；把所有交换子都映为单位元后，每对元素的像就能交换。

这一要求确定了需要商去的最小正规子群。若 $N⊴G$ 且 $G/N$ 阿贝尔，每个交换子在商群中的像都为单位元，因此 $G^{\prime }\le N$。所以阿贝尔化同时容纳所有从 $G$ 出发的阿贝尔商：先商去 $G^{\prime }$，再商去剩余关系即可。

对 $S_3$，符号同态的核是 $A_3$，像 $C_2$ 阿贝尔，所以 $S_3^{\prime }\le A_3$。另一方面，按右侧先作用的置换乘法，

这个三循环生成整个 $A_3$，于是 $S_3^{\prime }=A_3$，且 $S_3^{\mathrm{ab}}\cong C_2$。阿贝尔化在这里恰好保留置换的奇偶性。

对正方形的八阶对称群

中，按 $[g,h]=gh{g}^{-1}{h}^{-1}$ 的约定，有

因此 $r^2\in D_4^{\prime }$。商去 $⟨r^2⟩$ 后，$r$ 的像满足 $r=r^{-1}$，原关系 $srs=r^{-1}$ 就变为 $sr=rs$，所以商群阿贝尔。由最小性，$D_4^{\prime }\le ⟨r^2⟩$，两边合起来得到 $D_4^{\prime }=\{e,r^2\}$。商群由两个不同的二阶元生成，故 $D_4^{\mathrm{ab}}\cong C_2\times C_2$。

这个例子中，交换子群恰好等于群中心理路中心化子与群中心Centralizer · Center of a group与指定元素集合逐一交换的群元素构成中心化子；与全群交换的部分构成群中心。。其他群可以完全不同：$S_3$ 的中心平凡，交换子群为 $A_3$；非平凡阿贝尔群的中心是全群，交换子群却平凡。中心检验哪些元素与所有元素交换，交换子群则由所有交换误差生成。

在两个生成元的自由群理路自由群Free group · 自由群构造除群公理强制的逆元约消外不带任何关系，并由生成集映射的唯一延拓刻画的群。 $F(a,b)$ 中，阿贝尔化把词变成各生成元的指数和。例如 $ab{a}^{-1}{b}^2$ 映为 $(0,3)\in {\mathbb{Z}}^2$。加入交换关系后，每个词都能整理成 $a^m{b}^n$；指数和又能区分不同的 $(m,n)$，因此 $F(a,b{)}^{\mathrm{ab}}\cong {\mathbb{Z}}^2$。

阿贝尔化把到交换目标的同态分类转化为阿贝尔群问题。例如同态 $f:S_3\to {\mathbb{C}}^{\times }$ 必须经由 $S_3^{\mathrm{ab}}\cong C_2$ 分解。$C_2$ 的生成元只能映到满足 $z^2=1$ 的复数，因此这样的同态恰好有两个：平凡同态与符号同态。这也给出 $S_3$ 的两个一维复表示。

反复取交换子群得到导出列 $G,G^{\prime },G^{″},\dots$。每一步的商 $G^{(i)}/G^{(i+1)}$ 都阿贝尔；若有限步后到达 $\{e\}$，便称 $G$ 可解。交换子群因而既构造最大的阿贝尔商，也决定继续分析剩余非交换结构时的下一层。