交换子群

交换子 $[g,h]=gh{g}^{-1}{h}^{-1}$ 逐对测量“先做 $g$ 再做 $h$”与反序的差异。把所有交换子生成的正规子群公理库正规子群Normal subgroup在全群共轭下保持不变、因而可作为同态核并形成商群的子群。压成单位元后，剩余商群必然交换；而任何使群变交换的同态都必须杀掉这些偏差。因此交换子群不是任意选择，而是阿贝尔化所需删除的最小部分。

阿贝尔群的每个交换子都是单位元。对 $S_3$，交换子群是 $A_3$，因此 $S_3^{\mathrm{ab}}\cong C_2$。自由群公理库自由群Free group · 自由群构造除群公理强制的逆元约消外不带任何关系，并由生成集映射的唯一延拓刻画的群。的交换子群很大，其阿贝尔化把自由生成元变成自由阿贝尔生成元。交换子集合本身一般不是子群，所以定义必须取“由它们生成的子群”。若 $N⊴G$ 且 $G/N$ 阿贝尔，则每个交换子都落在 $N$ 中，故 $[G,G]\le N$；这给出最小性。交换子群不等于群中心：前者由非交换误差生成，后者由与所有元素交换的元素组成。在

中，按 $[g,h]=gh{g}^{-1}{h}^{-1}$ 的约定，有

因此交换子群为 $\{e,r^2\}$，而阿贝尔化 $D_4/[D_4,D_4]\cong C_2\times C_2$。它与群中心公理库中心化子与群中心Centralizer · Center of a group与指定元素集合逐一交换的群元素构成中心化子；与全群交换的部分构成群中心。承担相反角色：前者收集并生成非交换误差，后者收集与所有元素交换的元素。$r^2$ 在本例中同时属于二者只是特殊现象；一般没有任一方向的包含关系。

商去交换子群公理库子群Subgroup在原群的同一运算下自身仍构成群的非空子集。得到群的最大阿贝尔商，这就是阿贝尔化的泛性质：任何到阿贝尔群的同态都必须杀掉所有交换子，因而唯一经该商分解。交换子群还启动导出列和可解群理论；阿贝尔化则用于群同态分类、基本群的一阶同调、群表示的线性特征，以及从非交换对象中提取首层线性信息。