中心化子与群中心

形式陈述 ​

设 $G$ 是群，$S\subseteq G$。$S$ 在 $G$ 中的中心化子是

$$C_G(S)=\{g\in G:gs=sg\text{ 对每个 }s\in S\}.$$

单元素集合时简记 $C_G(x)=C_G(\{x\})$。逐点检查定义可得

$$C_G(S)=\bigcap _{s\in S}{C}_G(s).$$

$C_G(S)$ 是 $G$ 的子群公理库子群Subgroup在原群运算下自身也构成群的非空子集。：单位元与每个 $s$ 交换；若 $g,h$ 都与 $S$ 交换，则 $gh$ 也与 $S$ 交换；由 $gs=sg$ 还可推出 $g^{-1}s=s{g}^{-1}$。取 $S=G$ 得到 $G$ 的中心

$$Z(G)=C_G(G)=\{z\in G:zg=gz\text{ 对每个 }g\in G\}.$$

$Z(G)$ 不仅是正规子群，还是特征子群：任意自同构 $\phi$ 都满足 $\phi (Z(G))=Z(G)$，因为自同构保持乘法与交换关系。

直觉 ​

中心化子测量一个元素集合在多大范围内表现得像处在交换群中。$C_G(S)$ 中的元素可能彼此并不交换，但它们都无法通过交换次序辨认出 $S$ 中任一元素；中心则把测试集合扩大为整个群，留下对所有群元素都“透明”的部分。

这个定义依赖所在的环境群。同一个元素放进更大的群后，需要与更多元素交换，其中心化子可能缩小。因此 $C_G(x)$ 既记录 $x$ 的内部对称性，也记录 ambient group 提供了多少可能与 $x$ 不交换的变换。

例子与边界 ​

在 $S_3$ 中取换位 $\sigma =(12)$。与 $\sigma$ 交换的置换只有 $e$ 和 $\sigma$，故

$$C_{S_3}(\sigma )=\{e,(12)\}.$$

三个换位彼此并不都交换，三循环也不与换位交换，所以 $Z(S_3)=\{e\}$。与此相反，若 $G$ 是阿贝尔群，则每对元素都交换，从而 $C_G(S)=G$ 对任意 $S\subseteq G$ 成立，特别地 $Z(G)=G$。

中心化子通常不是正规子群。上面的 $C_{S_3}((12))=⟨(12)⟩$ 经 $(123)$ 共轭后变成另一个二阶子群，所以它不正规。中心化子也不能与正规化子混同：正规化子只要求共轭后保持整个子集不变，允许其中元素被重新排列；中心化子要求每个元素逐点不动。最后，$C_G(\varnothing )=G$，因为对空集的全称条件自动成立。

推论与应用 ​

群对自身作共轭作用 $g\cdot x=gx{g}^{-1}$ 时，$x$ 的稳定子正是 $C_G(x)$。因此有限群中由轨道–稳定子定理公理库轨道–稳定子定理Orbit–stabilizer theorem有限群作用下元素轨道大小等于群阶除以稳定子阶。得到

$$|{\mathrm{Cl}}_G(x)|=[G:C_G(x)],$$

这把元素的共轭类大小化为一个子群指数。中心则可由交换子描述为

$$Z(G)=\{z\in G:[z,g]=e\text{ 对所有 }g\in G\},$$

但它与交换子子群公理库交换子群Commutator subgroup · Derived subgroup由全部交换子生成的正规子群，度量群偏离交换性的程度。之间一般不存在包含关系。中心化子还用于研究群作用的稳定结构、有限群的类方程以及矩阵群中与给定线性变换可交换的全部算子。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., §§2.2, 4.3.
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Chapter 6.