中心化子与群中心

中心化子收集能与指定操作互换次序的操作。$g\in C_G(S)$ 意味着对每个 $s\in S$，先做 $g$ 再做 $s$ 与反过来结果相同。这里比较的是 $g$ 与 $S$ 中的元素；中心化子内部仍可非交换，例如 $C_G(e)=G$。

改变测试集合和改变环境群有不同效果。在固定的 $G$ 中，若 $S\subseteq T$，交换条件增多，所以 $C_G(T)\subseteq C_G(S)$。群中心正是把测试集合扩大到整个 $G$ 的结果。

若 $H\le G$ 且 $S\subseteq H$，测试集合保持不变，则

扩大环境群会增加可供选择的元素，原有的中心化子仍保留。例如把 $H=⟨(12)⟩$ 从自身放入 $S_4$，$(34)$ 也能与 $(12)$ 交换，于是中心化子从两个元素扩大为 $\{e,(12),(34),(12)(34)\}$。

在 $S_3$ 中取换位 $\sigma =(12)$。与 $\sigma$ 交换的置换只有 $e$ 和 $\sigma$，故

三个换位彼此并不都交换，三循环也不与换位交换，所以 $Z(S_3)=\{e\}$。与此相反，若 $G$ 是阿贝尔群，则每对元素都交换，从而 $C_G(S)=G$ 对任意 $S\subseteq G$ 成立，特别地 $Z(G)=G$。

中心化子可以不是正规子群。上面的 $C_{S_3}((12))=⟨(12)⟩$ 经 $(123)$ 共轭后变成 $⟨(23)⟩$，所以它不正规。

正规化子 $N_G(H)=\{g\in G:gH{g}^{-1}=H\}$ 允许共轭重新排列 $H$ 的元素。例如 $H=A_3$ 在 $S_3$ 中正规，故 $N_{S_3}(H)=S_3$；但换位把两个三循环互换，并非逐点固定它们，所以 $C_{S_3}(H)=A_3$。中心化子对应逐点不变，正规化子对应整个子群不变。

群对自身作共轭作用 $g\cdot x=gx{g}^{-1}$ 时，$x$ 的稳定子正是 $C_G(x)$。因此有限群中由轨道–稳定子定理理路轨道–稳定子定理Orbit–stabilizer theorem有限群作用下元素轨道大小等于群阶除以稳定子阶。得到

这把元素的共轭类大小化为一个子群指数。中心则可由交换子描述为

它与交换子群理路交换子群Commutator subgroup · Derived subgroup由全部交换子生成的正规子群，度量群偏离交换性的程度。 $G^{\prime }$ 的关系可由两个例子区分。非平凡阿贝尔群满足 $Z(G)=G$、$G^{\prime }=\{e\}$，所以中心不包含于交换子群；$S_3$ 满足 $Z(S_3)=\{e\}$、$S_3^{\prime }=A_3$，给出相反方向的反例。

把共轭写成同态 $G\to \mathrm{Aut}(G)$，其核就是 $Z(G)$，像称为内自同构群 $\mathrm{Inn}(G)$。由第一同构定理理路群第一同构定理First isomorphism theorem for groups群同态的定义域商去其核后，与同态像自然同构。，

这个同构说明：两个元素实施相同的共轭变换，恰好在它们相差一个中心元素时发生。