类方程

形式陈述 ​

设 $G$ 是有限群。取所有不在中心 $Z(G)$ 中的共轭类代表 $x_1,\dots ,x_r$，则类方程为

$$|G|=|Z(G)|+\sum _{i=1}^r[G:C_G(x_i)].$$

证明来自共轭作用的轨道分拆。元素 $x$ 的轨道是共轭类公理库共轭类Conjugacy class群中元素在内自同构下形成的轨道，刻画改变群内坐标后保持不变的元素类型。 ${\mathrm{Cl}}_G(x)$，其稳定子是中心化子 $C_G(x)$；由轨道–稳定子定理公理库轨道–稳定子定理Orbit–stabilizer theorem有限群作用下元素轨道大小等于群阶除以稳定子阶。，

$$|{\mathrm{Cl}}_G(x)|=[G:C_G(x)].$$

中心元素恰好满足 $gx{g}^{-1}=x$ 对每个 $g\in G$ 成立，所以它们各自形成大小为 $1$ 的轨道。把这些单点轨道合并为 $Z(G)$，再对其余轨道各取一个代表求和，便得到公式。

直觉 ​

类方程不是新的计数技巧，而是把“群作用把集合分成轨道”应用到群自身。中心元素在任何换坐标下都不动；非中心元素则成批移动，每一批的大小由有多少元素仍固定它来决定。中心化子越大，轨道越小，因而群内对称性越强。

求和指标是共轭类代表，不是全部非中心元素。每个代表只负责一整条轨道；若对所有元素求和，就会把同一共轭类重复计算其大小那么多次。

例子与边界 ​

$S_3$ 有三个共轭类：单位元类 $\{e\}$、三个换位组成的类、两个三循环组成的类。其中心只有 $e$，故类方程为

$$|S_3|=1+[S_3:C_{S_3}((12))]+[S_3:C_{S_3}((123))]=1+3+2=6.$$

类大小不是中心化子的阶：这里 $|C_{S_3}((12))|=2$，对应类大小却是指数 $6/2=3$。

有限性是这个整数求和版本的关键假设。无限群仍可按共轭轨道分拆，也仍有 $G/C_G(x)$ 与共轭类的集合双射，但不能把无限基数当作普通整数相除或默认只有有限多个非中心共轭类。阿贝尔有限群则给出边界情形：$Z(G)=G$，求和为空，类方程退化为 $|G|=|G|$。

推论与应用 ​

若 $|G|=p^n$，其中 $p$ 为素数且 $n\ge 1$，则 $Z(G)$ 非平凡。因为每个非中心元素 $x_i$ 满足 $C_G(x_i)\ne G$，指数 $[G:C_G(x_i)]$ 是大于 $1$ 的 $p$ 的幂，因而被 $p$ 整除。类方程两边模 $p$ 比较得到 $|Z(G)|\equiv 0(\mathrm{mod}p)$，所以 $|Z(G)|\ge p$。

这个推论是有限 $p$-群结构论的入口：可从中心选取阶为 $p$ 的正规子群，再对商群归纳。类方程也用于排除某些群阶下的简单群、分析共轭类数，并为表示论中“不可约特征标数等于共轭类数”的现象提供组合侧索引。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., §4.3.
• I. Martin Isaacs, Finite Group Theory, American Mathematical Society, 2008, Chapter 1.