共轭类

形式陈述 ​

设 $G$ 是群。$G$ 通过共轭作用在自身上：

$$g\cdot x=gx{g}^{-1}.$$

元素 $x\in G$ 的共轭类是它在这个群作用公理库群作用Group action群元素以保持单位元与乘法的方式作用于集合。下的轨道

$${\mathrm{Cl}}_G(x)=\{gx{g}^{-1}:g\in G\}.$$

若 $y=gx{g}^{-1}$ 对某个 $g\in G$ 成立，就称 $x,y$ 在 $G$ 中共轭。共轭是等价关系：单位元给出自反性，$g^{-1}$ 给出对称性，而两次共轭的复合给出传递性。因此所有共轭类把 $G$ 分拆为互不相交的子集。

$x$ 在共轭作用下的稳定子恰是中心化子公理库中心化子与群中心Centralizer · Center of a group与指定元素集合逐一交换的群元素构成中心化子；与全群交换的部分构成群中心。 $C_G(x)$，故轨道–稳定子定理给出集合之间的双射

$$G/C_G(x)⟶{\mathrm{Cl}}_G(x),g{C}_G(x)⟼gx{g}^{-1}.$$

特别地，$G$ 有限时

$$|{\mathrm{Cl}}_G(x)|=[G:C_G(x)].$$

直觉 ​

共轭把 $x$ 看作一个变换，并允许同时改变观察它的群内坐标。$gx{g}^{-1}$ 先用 $g^{-1}$ 换入新坐标，执行 $x$，再用 $g$ 换回；得到的元素在群中的位置可能不同，却保留阶、中心化子结构等内在性质。

共轭类的大小反映 $x$ 对这种换坐标有多敏感。中心化子越大，越多坐标变化不会改变 $x$，共轭类就越小。中心元素与所有元素交换，因而共轭类只有自身一个点。

例子与边界 ​

在对称群 $S_n$ 中，两个置换共轭当且仅当它们有相同循环型。$S_4$ 的六个换位构成一个共轭类，三个双换位 $(12)(34),(13)(24),(14)(23)$ 构成另一个类。两类元素的阶都是 $2$，却不共轭；所以“同阶”只是共轭的必要条件，绝不是充分条件。

阿贝尔群中 $gx{g}^{-1}=x$，每个共轭类都是单点。相反，在 $S_3$ 中，三个换位彼此共轭，两个三循环彼此共轭，连同单位元得到三个共轭类。这些类是元素的类；子群的共轭则是 $gH{g}^{-1}$，不能把一个元素轨道与一个子群轨道混作同一对象。

共轭还依赖 ambient group。两个元素可能在 $G$ 中共轭，却不在某个包含它们的子群 $H$ 中共轭，因为实现共轭的元素可能只存在于 $G\setminus H$。无限群中陪集双射仍成立，但不能把 $[G:C_G(x)]$ 随意写成两个无限基数的普通除法。

推论与应用 ​

子集 $S\subseteq G$ 在所有共轭下不变，当且仅当它是若干共轭类的并。特别地，子群 $N\le G$ 正规，当且仅当它是共轭类的并；这把正规性公理库正规子群Normal subgroup在群的共轭作用下保持不变的子群。转写为内自同构下的不变性。

有限群按共轭类分拆后得到类方程，其中单点类正好来自群中心。轨道–稳定子定理公理库轨道–稳定子定理Orbit–stabilizer theorem有限群作用下元素轨道大小等于群阶除以稳定子阶。负责计算每类大小，而Sylow 定理公理库Sylow 定理Sylow theorems描述有限群中素数幂阶子群的存在性、共轭性与数量约束。常通过共轭作用研究 Sylow 子群的数目。表示论中的特征标和一般类函数在每个共轭类上常值，因此共轭类也是角色表行列结构的基本索引。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., §4.3.
• Jean-Pierre Serre, Linear Representations of Finite Groups, Springer, 1977, Chapter 1.