正规扩张

形式陈述 ​

设 $E/F$ 是代数域扩张公理库域扩张Field extension一个域作为另一域子域时形成的包含关系与相应向量空间结构。。若每个不可约多项式 $f\in F[x]$ 只要在 $E$ 中有一个根，就已经在 $E[x]$ 中完全分裂，则称 $E/F$ 为正规扩张。等价地，对每个 $\alpha \in E$，其在 $F$ 上的最小多项式公理库极小多项式Minimal polynomial以给定代数元为根的首一不可约多项式。的全部根都属于 $E$，重数允许重复。

把 $E$ 嵌入一个固定的 $F$ 的代数闭包 $\mathrm{\Omega }$ 中，则正规性还等价于：每个保持 $F$ 中元素不动的嵌入 $\sigma :E\to \mathrm{\Omega }$ 都满足 $\sigma (E)=E$。若 $E/F$ 有限，正规扩张也等价于 $E$ 是 $F[x]$ 中某一族多项式的分裂域公理库分裂域Splitting field使给定多项式完全分裂且由其全部根生成的最小扩域。；有限生成性允许把有限多个相关多项式合成一个乘积。

直觉 ​

一个代数元通常有若干由最小多项式联系的共轭根。正规性要求：既然扩域接纳了其中一个，就不能把其他共轭留在外面。因而任何基域嵌入只能在场内重排这些根，不能把整个扩域送到代数闭包中的另一个共轭副本。它讨论的是“根是否齐全”，不是“根是否互异”。

例子与边界 ​

$\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ 正规：$\sqrt{2}$ 的共轭是 $-\sqrt{2}$，两者都在该域中，而且它是 $x^2-2$ 的分裂域。相反，$E=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 只包含 $x^3-2$ 的实根。另两个根 ${\zeta }_3\sqrt[3]{2}$、${\zeta }_3^2\sqrt[3]{2}$ 非实，不属于 $E\subset \mathbb{R}$，所以 $E/\mathbb{Q}$ 不正规；将实根送到非实共轭根的嵌入也把 $E$ 送出了自身。

正规并不推出可分。在特征 $p$ 中，${\mathbb{F}}_p(t^{1/p})/{\mathbb{F}}_p(t)$ 由 $x^p-t$ 的根生成；该多项式在扩域中写成 $(x-t^{1/p}{)}^p$，因而完全分裂但根重复。这是正规却不可分的纯不可分扩张。它也说明正规性与正规子群公理库正规子群Normal subgroup在群的共轭作用下保持不变的子群。只是术语相似，定义对象和机制并不相同。

推论与应用 ​

正规扩张确保所有共轭根都在同一舞台上，是根置换能够形成域自同构的必要一半；另一半是可分性公理库可分扩张Separable extension · 可分域扩张扩张中每个代数元的最小多项式都没有重根，从而保留足够多的不同共轭嵌入。。二者合并得到Galois 扩张公理库Galois 扩张Galois extension · 伽罗瓦扩张同时正规且可分的代数扩张，使扩张次数与域自同构对称性在有限情形精确配平。。分裂域天然正规，因此从多项式进入 Galois 理论时，通常先取分裂域，再检查是否有重根；在特征零中可分性自动成立，这一步尤其简洁。

参考资料

• The Stacks Project, Fields, sections on normal extensions and embeddings into an algebraic closure.
• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004, Ch. 14, normal extensions and splitting fields.