形式陈述

方阵 $A=(a_{ij})$$A=(a_{ij})$ 的迹为 $\operatorname{tr}A=\sum_i a_{ii}$$\mathrm{tr}A=\sum _i{a}_{ii}$。对有限维线性算子，迹与所选基无关，因为 $\operatorname{tr}(S^{-1}AS)=\operatorname{tr}A$$\mathrm{tr}(S^{-1}AS)=\mathrm{tr}A$；更一般有 $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$$\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$，只要乘积维数匹配。迹等于特征值按代数重数之和，但该说法需在分裂域或代数闭包中理解。

直觉

迹把线性变换压缩成一个换基不变量，可看作所有坐标方向瞬时伸缩的总和。

例子与边界

对上三角矩阵，迹就是对角线和，也等于特征值和。一般 $\operatorname{tr}(ABC)$$\mathrm{tr}(ABC)$ 可循环移位，但不能任意交换成 $\operatorname{tr}(ACB)$$\mathrm{tr}(ACB)$。无限维算子未必有定义良好的迹，需要迹类条件。

推论与应用

迹用于特征多项式、表示论字符、矩阵微积分、量子态和微分方程中的散度。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed., Springer, 2024，Chs. 1–9。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Chs. 1–16。