迹 | Codeboy's Blog

形式陈述

方阵 $A=(a_{ij})$ 的迹为 $\operatorname{tr}A=\sum_i a_{ii}$ 。对有限维线性算子，迹与所选基无关，因为 $\operatorname{tr}(S^{-1}AS)=\operatorname{tr}A$ ；更一般有 $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$ ，只要乘积维数匹配。迹等于特征值按代数重数之和，但该说法需在分裂域或代数闭包中理解。

直觉

迹把线性算子的对角贡献汇总为一个标量，可看作所有坐标方向瞬时伸缩的总和，但其真正意义不依赖某组坐标。恒等式 $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$ 使迹在相似变换下保持不变，并把交换子的迹压成零。

例子与边界

对上三角矩阵，迹就是对角线和，也等于特征值和。一般 $\operatorname{tr}(ABC)$ 可循环移位，但不能任意交换成 $\operatorname{tr}(ACB)$ 。无限维算子未必有定义良好的迹，需要迹类条件。

循环不变性可由一个具体交换子看出。取

A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}.

则

AB-BA =\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}, \qquad \operatorname{tr}(AB-BA)=0.

一般地，每个交换子 $[A,B]$ 的迹都为零。反过来，迹远不足以决定矩阵： $I_2$ 与 $\operatorname{diag}(2,0)$ 的迹都为 $2$ ，但行列式分别为 $1$ 与 $0$ ，因而不相似。

推论与应用

迹是特征多项式次高系数的负值，并与行列式共同提供谱的不变量。它定义表示的特征标、矩阵内积与协方差总方差，也用于量子态、矩阵微积分、矩阵指数导数和微分方程中的散度。

参考资料

Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed., Springer, 2024，Chs. 1–9。
Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Chs. 1–16。

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