Hilbert 基定理 | Codeboy's Blog

形式陈述

Hilbert 基定理断言：若交换含幺环 $R$ 是Noether 环，则一元多项式环 $R[x]$ 也是 Noether 环。迭代应用可得

R[x_1,\ldots,x_n]\text{ 对每个有限 }n\text{ 都是 Noether 环}.

因此任何有限生成交换 $R$ -代数

A=R[a_1,\ldots,a_n]

都是 $R[x_1,\ldots,x_n]$ 的商环，从而 Noether。

证明从任意非零理想 $I\subseteq R[x]$ 的首项系数入手。所有非零 $f\in I$ 的首项系数生成 $R$ 的一个理想 $L$ ；因 $R$ Noether，可选有限个 $f_1,\ldots,f_r\in I$ ，使其首项系数 $a_1,\ldots,a_r$ 生成 $L$ 。记 $d_i=\deg f_i$ ， $N=\max_i d_i$ 。

若 $f\in I$ 的次数 $d\ge N$ ，其首项系数可写为 $\sum_i c_i a_i$ ，于是

f-\sum_{i=1}^r c_i x^{d-d_i}f_i

的 $x^d$ 项被消去，结果为零或次数更低的多项式。反复进行这一步，就把 $f$ 表成 $f_i$ 的多项式线性组合加上一个次数小于 $N$ 的余项。

次数小于 $N$ 的多项式连同零多项式组成有限自由模 $R^N$ 。它与 $I$ 的交是子模，由 $R$ 的 Noether 性可取有限个模生成元 $g_1,\ldots,g_s$ 。这些 $g_j$ 连同此前的 $f_i$ 就生成整个理想 $I$ 。零理想已由 $0$ 生成，因此每个理想都有限生成。

直觉

添入变量 $x$ 会产生无限多个幂 $1,x,x^2,\ldots$ ，但理想对乘 $x$ 封闭，所以高次项之间存在联系。例如一旦 $f\in I$ ， $xf,x^2f,\ldots$ 也都属于 $I$ ，无需把它们分别列为生成元。Hilbert 基定理说明，这种联系加上基环的 Noether 性，足以让任意理想都由有限个多项式控制。

证明把理想分成两部分处理：有限个 $f_i$ 负责消去所有足够高次的首项，有限个 $g_j$ 负责表示留下的低次余项。前一部分利用首项系数理想的有限生成性，后一部分利用有限自由模的 Noether 性；两者合起来覆盖任意次数的多项式。

例子与边界

域 $k$ 是 Noether 环，所以 $k[x_1,\ldots,x_n]$ Noether。例如考虑由无限族多项式生成的理想

I=(y-x,\ y-x^2,\ y-x^3,\ldots)\subseteq k[x,y].

前两个生成式的差为 $(y-x)-(y-x^2)=x^2-x$ 。对任意 $n\ge2$ ，又有

y-x^n=(y-x)-(x^2-x)(1+x+\cdots+x^{n-2}),

因此 $I=(y-x,x^2-x)=(y-x,y-x^2)$ 。无限族关系 $y=x^n$ 全部由其中前两个推出；解集则由 $y=x$ 与 $x(x-1)=0$ 确定，恰为 $(0,0)$ 、 $(1,1)$ 。

整数环 $\mathbb Z$ 也 Noether，故 $\mathbb Z[x_1,\ldots,x_n]$ Noether。反之，若 $R[x]$ Noether，则商

R[x]/(x)\cong R

也 Noether，所以 $R[x]$ Noether 当且仅当 $R$ Noether。无限变量环

k[x_1,x_2,\ldots]

不 Noether，因为

(x_1)\subsetneq(x_1,x_2)\subsetneq\cdots

永不稳定。每一步新加入的 $x_{n+1}$ 都不在 $(x_1,\ldots,x_n)$ 中：把前 $n$ 个变量设为零，旧理想中的多项式全部变为零，而 $x_{n+1}$ 保持不变。

“有限型代数”允许对生成元反复相乘，“有限模”只允许取 $R$ -线性组合。对非零 $R$ ， $R[x]$ 由一个代数生成元 $x$ 生成，却不是有限 $R$ -模：任取有限个多项式，它们的 $R$ -线性组合的次数都有共同上界，无法产生所有 $x^n$ 。对有限型交换 $R$ -代数，若各个生成元都满足 $R$ 上的首一方程，高次幂便能由低次幂表示，这个代数也成为有限 $R$ -模。

推论与应用

若 $X\subseteq k^n$ 是仿射代数集，其坐标环

k[X]=k[x_1,\ldots,x_n]/I(X)

是 Noether 环。因此 $X$ 的每个闭子集由有限多个方程定义，闭集严格降链最终停止，不可约分支也只有有限多个。这个结果把代数的理想升链条件转成几何的闭集降链条件。

设 $A$ 是 Noether 环 $R$ 上的有限型交换代数， $M$ 是有限生成 $A$ -模。选取生成元得到满射 $A^r\to M$ ；由于 $A$ Noether，其核也有限生成，可由另一个有限自由模 $A^s$ 映满。因此存在有限表示

A^s\longrightarrow A^r\longrightarrow M\longrightarrow0.

这里 $r$ 个生成元描述 $M$ 的元素，前一个映射的 $s$ 个列向量描述生成元之间的全部关系。Hilbert 基定理由此把有限型代数上的模计算归结到有限矩阵。

参考资料

M. F. Atiyah and I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969，Chapter 7, Hilbert's basis theorem。
David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Springer, 1995，Chapter 1, Noetherian rings and Hilbert's basis theorem。
Serge Lang, Algebra, revised 3rd ed., Springer, 2002，Part II, polynomial rings over Noetherian rings。
The Stacks Project, Noetherian rings，Lemma 10.31.1；Lemma 10.31.4，有限生成模与有限表示。

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