Noether 正规化引理

有限生成代数可以带有许多方程与奇异性。正规化引理从中找出一组自由的参数坐标，其余元素都满足这些参数上的首一方程。参数的个数给出维数，而有限模结构保证每个谱点的上方都只有有限个谱点。

证明通过逐步减少生成元来实现。若 $x_1,\dots ,x_n$ 代数相关，取非零关系 $F(x_1,\dots ,x_n)=0$，再令 $u_i=x_i-x_n^{D^i}$（$i<n$），其中整数 $D$ 大于 $F$ 中出现的每个变量的最高指数。代入 $x_i=u_i+x_n^{D^i}$ 后，单项式 $x_1^{a_1}\cdots x_n^{a_n}$ 的最高 $x_n$ 次数为

各 $a_i<D$，所以不同单项式对应不同的 $D$ 进制数，最高次项恰由其中一个单项式贡献。它的系数是一个非零的 $k$ 中元素，除以它就得到关于 $x_n$ 的首一方程。

于是 $x_n$ 整于 $k[u_1,\dots ,u_{n-1}]$，原代数也成为这个较少生成元的子代数上的有限模。继续对该子代数应用同一过程，直到得到代数无关的参数组。这个高次幂变换在有限域上同样有效。

对尖点环

取 $y_1=t^2$。元素 $t^3$ 满足

所以 $A$ 在 $k[t^2]$ 上整，并由 $1,t^3$ 作为模生成。几何上，尖点曲线有限地投影到一条仿射直线。本引理选的是 $A$ 内部的多项式子环 $k[t^2]$；另一种称为正规化的构造则取整闭包理路整闭包Integral closure · Normalization of a domain给定扩环中所有在基环上整的元素所成的子环，以及由此定义的整闭性质。，把 $A$ 扩大为 $k[t]$。两者在这个例子中分别位于 $A$ 的下方和上方，不能视为同一操作。

对可约环 $A=k[x,y]/(xy)$，令 $s=\overline{x}+\overline{y}$。因为

$A$ 由 $1,\overline{x}$ 作为 $k[s]$-模生成。$s$ 也确实代数无关：若 $P(s)=0$，再模掉 $\overline{y}$，便在 $k[x]$ 中得到 $P(x)=0$，故 $P$ 必为零多项式。几何上，两条坐标轴都通过 $s$ 映到同一条直线；除原点外，每个点有两个原像，原点的两个原像合在一起。

代数无关只解决参数之间有无方程，还要检验其余元素的整性。例如 $x$ 与 $xy$ 在 $k[x,y]$ 中代数无关：各单项式 $x^a(xy{)}^b=x^{a+b}{y}^b$ 互不相同。但扩张

不是整扩张。若 $y$ 满足 $k[x,xy]$ 系数首一方程，在 $k[x,y]$ 中令 $x=0$，所有系数就都落入 $k$，方程变为

其中 $c_i\in k$。这与不定元 $y$ 的超越性矛盾。相应映射 $(x,y)\mapsto (x,xy)$ 把整条直线 $x=0$ 压到原点，这条正维纤维也说明映射不是有限的。

在实数域上，还可以看到谱点与实点的区别。包含 $\mathbb{R}[t^2]\subseteq \mathbb{R}[t]$ 是有限整扩张，对应的实点映射为 $t\mapsto t^2$，像只有非负实数。谱映射仍满射：例如目标点 $t^2=-1$ 的上方是素理想 $(t^2+1)$，其剩余域为 $\mathbb{C}$，所以这个原像不是实点。

由Hilbert 基定理理路Hilbert 基定理Hilbert basis theoremNoether 环上添有限多个多项式变量仍保持 Noether 性的有限生成定理。，多项式环 $B=k[y_1,\dots ,y_d]$ 是 Noether 环，而有限模代数在其上也是 Noether 的，正规化给出有限生成交换 $k$-代数的 Noether 性。对 $B$ 中的素理想 $\mathfrak{p}$，用张量积理路张量积Tensor product把双线性映射统一因子化为线性映射，并可在交换环上的模中以平衡关系构造的张量积。表示，映射的纤维是

其中 $\kappa (\mathfrak{p})$ 为剩余域。括号中的代数在这个域上有限维，故只有有限多个素理想；上卧定理理路上卧定理Lying-over theorem整扩张中基环的每个素理想都有扩张环中的素理想位于其上。又保证纤维非空。这给出了“每个点上方有限且至少有一个点”的代数解释。

对整代数 $A$，整扩张中的素理想链理论给出 $\dim A=d$，从而证明有限生成整 $k$-代数的Krull 维数理路Krull 维数Krull dimension以素理想严格包含链长度的上确界度量交换环的代数维数。等于其函数域超越次数。该引理也常用于证明弱 Hilbert 零点定理：若有限生成 $k$-代数本身是域，正规化中的 $d$ 必为 $0$，所以它是 $k$ 的有限代数扩张。若 $k$ 已代数闭，该扩张只能是 $k$。