Noether 正规化引理

有限生成代数可能带有许多方程与奇异性，但正规化引理说，其中总能找到一组真正自由的“参数坐标”，其余元素都满足这些参数上的首一方程。自由部分是多项式环，负责维数；整扩张是有限模，负责把剩余复杂性限制为每个一般点上有限多个选择。

证明以逐个消除代数关系为机制。若生成元 $x_1,\dots ,x_n$ 代数相关，取一个非零关系 $F(x_1,\dots ,x_n)=0$。经合适坐标变换，使 $F$ 对最后一个生成元成为首一多项式，于是该生成元整于其余新生成元所成的子代数。删去它并重复，直到剩下的元素代数无关。若 $k$ 无限，常可用一般线性变换完成首一化；有限域上一般线性选择可能不够，需使用三角形高次幂变换等版本，但定理本身不要求 $k$ 无限。

对尖点环

取 $y_1=t^2$。元素 $t^3$ 满足

所以 $A$ 在 $k[t^2]$ 上整，并由 $1,t^3$ 作为模生成。几何上，尖点曲线有限地投影到一条仿射直线。

对可约环 $A=k[x,y]/(xy)$，令 $s=\overline{x}+\overline{y}$。因为

$A$ 在 $k[s]$ 上整且有限。这说明定理不要求 $A$ 是整环；两条坐标轴之并仍可有限投影到一条直线。

参数不能任意选择。虽 $x$ 与 $xy$ 在 $k[x,y]$ 中代数无关，扩张

却不是整的：若 $y$ 整，则在开集 $x\ne 0$ 上虽可写成 $(xy)/x$，但沿 $x=0$ 会出现无法由有限首一关系控制的整条纤维。正规化保证存在合适的参数组，并不保证任何超越基都可用。

这个反例还可纯代数地复算。若 $y$ 满足 $k[x,xy]$ 系数首一方程，把 $x$ 与 $xy$ 同时模掉，方程会在商环 $k[y]$ 中变成

且各 $c_i\in k$，这会使不定元 $y$ 在 $k$ 上代数，矛盾。因而“代数无关元素个数正确”只确定维数，不足以保证有限投影；首一关系才是有限性的关键。

由于多项式环 $k[y_1,\dots ,y_d]$ 是 Noether 环，而有限模代数在其上也是 Noether 的，正规化给出“有限生成域代数必 Noether”的另一条结构化证明。整扩张的上卧定理保证谱映射

满射；有限性还意味着纤维在适当意义下是有限的。于是 $d$ 不只是抽象超越次数，而是能被有限投影看见的几何维数。

对整代数 $A$，整扩张中的素理想链理论给出 $\dim A=d$，从而证明有限生成整 $k$-代数的 Krull 维数等于其函数域超越次数。该引理也常用于证明弱 Hilbert 零点定理：若有限生成 $k$-代数本身是域，正规化中的 $d$ 必为 $0$，所以它是 $k$ 的有限代数扩张。若 $k$ 已代数闭，该扩张只能是 $k$。

几何表述中的“有限满射”也比一般投影强。有限性意味着目标仿射开集的逆像仍由有限模控制，因而映射是闭的；上卧保证满射。一般线性投影可能漏点、拥有正维纤维或不是闭映射，正规化所选坐标正是为了同时排除这些失控现象。