有理函数 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $F$ 是域， $F[x]$ 是一元多项式环。有理函数域 $F(x)$ 由所有有序对 $(p,q)$ （其中 $p,q\in F[x]$ 且 $q\ne0$ ）对等价关系

(p,q)\sim(r,s)\quad\Longleftrightarrow\quad ps=rq

取商得到。等价类记作 $p/q$ ，运算由

\frac pq+\frac rs=\frac{ps+rq}{qs}, \qquad \frac pq\frac rs=\frac{pr}{qs}

给出。因为 $F[x]$ 是整环，这些运算与代表元的选择无关；每个非零类 $p/q$ 的逆是 $q/p$ ，故 $F(x)$ 确为域。更一般地，任一整环 $R$ 都有分式域 $\operatorname{Frac}(R)$ ，而 $F(x)=\operatorname{Frac}(F[x])$ 。

代数对象 $p/q$ 与具体函数要分开。若 $F\subseteq\mathbb C$ ，它在集合

\operatorname{Dom}(p/q)=\{a\in F:q(a)\ne0\}

上诱导映射 $a\mapsto p(a)/q(a)$ 。换一个等价表示可能在未约分时排除额外点，所以谈“函数在何处有定义”时，通常先把 $p,q$ 约为互素；约分后分母的零点就是有限极点或可去奇点分析的候选位置。约分表示仅在把分子、分母同时乘以非零常数的意义下唯一。

分式域对多项式环所做的事，与从整数构造有理数相同：正式加入每个非零多项式的乘法逆元，同时用交叉相乘消除不同写法造成的冗余。 $1/(1-x)$ 在这里是一个完整的代数元素，不需要先讨论 $|x|<1$ ；只有当它被展开成幂级数或在某点求值时，收敛域与分母零点才进入问题。

这个区分对近似尤其重要。多项式只能以零点表达消失行为，有理函数还可用分母表达极点，因此少量系数便可能抓住带奇性函数的整体形状。代价是求值前必须检查分母：代数上合法的元素，不等于在每个输入上都有数值。

在 $\mathbb R(x)$ 中，

\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1.

两边作为有理函数域元素相等，因为交叉相乘成立。作为按原公式书写的实函数，左边在 $x=1$ 没有定义，右边却有；约分说明 $x=1$ 是可去间断点，而不是约分后有理函数的极点。若规定以最简分母描述自然定义域，则该类由 $x+1$ 表示并可在 $1$ 处延拓为 $2$ 。

另一个例子是

r(x)=\frac{x+2}{(x-1)^2(x^2+1)}.

在复数域上， $r$ 在 $1$ 有二阶极点，在 $i$ 与 $-i$ 有一阶极点；在实数域上只有 $1$ 会使实值求值失败。极点集合因基础域而异，但元素的代数定义并未改变。

若 $p/q$ 与 $r/s$ 已约分且 $p/q=r/s$ ，由 $ps=rq$ 和唯一因子分解可知 $q$ 与 $s$ 只差一个非零常数。这给出了“共同分母约去以后，极点信息不再依赖写法”的精确理由。

有理函数不是形式幂级数。恒等式

\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n

在 $F\llbracket x\rrbracket$ 中可按形式级数理解，在实或复分析中则只在 $|x|<1$ 收敛；右边不是 $F(x)$ 中的有限代数表达。反过来，并非每个形式幂级数都是有理函数：系数序列可由常系数线性递推生成，才是有理生成函数的典型判据。

若系数环有零因子，直接照搬交叉相乘关系会出问题。比如在 $\mathbb Z/6\mathbb Z[x]$ 中，非零元素可能无法安全消去；必须只局部化于指定的乘法闭集，不能宣称得到包含所有商的“函数域”。因此这里要求基础对象为域，或至少先从整环构造分式域。

分母很小但非零时，精确代数定义仍成立，浮点求值却可能极度敏感。这个数值不稳定性属于求值算法与条件数，而不是有理函数定义本身。

$F[x]\hookrightarrow F(x)$ 通过 $p\mapsto p/1$ 嵌入。次数可扩展为

\operatorname{ord}_{\infty}(p/q)=\deg q-\deg p,

用来描述无穷远处的零点或极点。部分分式分解把分母因子对应的局部极点信息拆开，是积分、逆 Laplace 变换与线性系统分析的共同工具。

Padé 逼近以给定次数的 $p/q$ 匹配目标函数的 Taylor 系数。它首先需要的对象正是有理函数；系数匹配只是选取该对象的一种规则。代数几何中的有理映射、生成函数以及传递函数也都建立在同一分式域结构上。

参考资料

Serge Lang, Algebra, 3rd ed., Springer, 2002，Ch. II, integral domains and fields of fractions。
David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，§7.5 与 §9.1。
Steven G. Krantz, Handbook of Complex Variables, Birkhäuser, 1999，关于有理函数、零点与极点的章节。