有理函数

分式域对多项式环所做的事，与从整数构造有理数相同：加入每个非零多项式的乘法逆元，同时用交叉相乘识别同一个元素的不同写法。例如 $1/(1-x)$ 与 $(1+x)/(1-x^2)$ 表示相同元素，就像 $1/2$ 与 $2/4$ 表示同一个有理数。

分母还表达了多项式没有的极点行为。在实数中，$1/(1-x)$ 随 $x$ 接近 $1$ 而无界；分母的一个一次因子就记录了这种发散。有理逼近据此同时使用分子的零点和分母的极点来描述函数形状。

在 $\mathbb{R}(x)$ 中，

两边作为有理函数域元素相等，因为交叉相乘成立。作为按原公式书写的实函数，左边在 $x=1$ 没有定义，右边却有；约分说明 $x=1$ 是可去间断点，而不是约分后有理函数的极点。若规定以最简分母描述自然定义域，则该类由 $x+1$ 表示并可在 $1$ 处延拓为 $2$。

另一个例子是

在复数域上，$r$ 在 $1$ 有二阶极点，在 $i$ 与 $-i$ 有一阶极点，因为分子在这三点都非零。若只考虑实数输入，自然定义域就是 $\mathbb{R}\setminus \{1\}$。

若 $p/q$ 与 $r/s$ 已约分且 $p/q=r/s$，由 $ps=rq$ 和 $F[x]$ 中的唯一因子分解理路唯一分解整环Unique factorization domain · UFD每个非零非单位元素都能唯一地分解为不可约元乘积的整环。可知 $q$ 与 $s$ 只差一个非零常数。这给出了“共同分母约去以后，极点信息不再依赖写法”的精确理由。

幂级数展开与系数递推 ​

若约分后的分母满足 $q(0)\ne 0$，它在形式幂级数环理路形式幂级数Formal power series以系数序列为本体并按 Cauchy 卷积运算、不预设解析收敛的无穷级数。 $F[[x]]$ 中可逆，于是 $p/q$ 有唯一的形式展开。例如

由逐项相消的乘法恒等式得到；若把它解释为实数或复数级数，则在 $|x|<1$ 收敛。$1/x$ 在原点有极点，其展开需要允许负次数的 Laurent 级数。

有理性还可从系数序列识别。设 $A(x)=\sum _{n\ge 0}{a}_n{x}^n$，且

若 $p=0$，则 $A=0$，所有系数为零。若 $p\ne 0$，当 $n>max(\mathrm{deg}p,d-1)$ 时，比较系数得到

反过来，若序列从某项起满足这样的常系数齐次线性递推，乘积 $qA$ 的高次系数便全为零，因而是多项式。这给出判据：形式级数是有理函数，当且仅当其系数最终满足有限阶常系数齐次线性递推。

$F[x]\hookrightarrow F(x)$ 通过 $p\mapsto p/1$ 嵌入。对非零有理函数，可定义

用来描述无穷远处的零点或极点。部分分式分解把分母因子对应的局部极点信息拆开，是积分、逆 Laplace 变换与线性系统分析的共同工具。

Padé 逼近通过匹配 Taylor 系数选择有理函数。给定级数 $A(x)$，寻找 $\mathrm{deg}p\le m$、$\mathrm{deg}q\le n$ 且 $q(0)=1$ 的多项式，使 $q(x)A(x)-p(x)$ 的 $0$ 至 $m+n$ 次系数全为零。比较这些系数得到线性方程组；解出 $p,q$ 后，便得到在原点匹配相应阶数的有理近似。

这一归一化系统并非对每个阶数组合都有解。例如 $A(x)=x$、$(m,n)=(0,1)$，令 $p=p_0,q=1+q_{1}x$，要求常数和一次系数同时为零，就要 $p_0=0$ 且 $1=0$，不可能。放弃 $q(0)=1$ 后，形式对 $(p,q)=(0,x)$ 虽使 $qA-p=x^2$，约分得到的有理函数零却只以一阶而非二阶接近 $A$，所以不能忽略分母在展开点消失造成的阶数损失。局部 Taylor 匹配也不是整个区间最大误差理路最佳一致多项式逼近Best uniform polynomial approximation · Minimax polynomial approximation · 极小极大多项式逼近在固定次数内最小化整区间最大误差，证明最优解存在，并区分插值、积分投影与一致最佳解。的最优化条件。

在矩阵指数的缩放平方算法理路矩阵指数的缩放平方算法Scaling and squaring matrix exponential用 Padé 求解和反复平方计算矩阵指数，给出可执行的十三阶核心、后向误差含义、运算计数与过度缩放反例。中，这个标量有理式被代入矩阵，并通过分母矩阵的多右端线性求解求值。匹配阶数只是第一步；缩放量、分母求解及平方时的舍入传播还需要单独分析。