正交多项式

形式陈述 ​

设区间 $I\subseteq \mathbb{R}$ 上的权函数 $w(x)>0$ 几乎处处成立，且所需各阶矩有限。对实多项式定义

$$⟨p,q{⟩}_w={\int }_{I}p(x)q(x)w(x)dx.$$

这是多项式函数空间上的内积公理库内积空间Inner product space带正定对称双线性形式或正定 Hermitian 半双线性形式的向量空间。。若 $\mathrm{deg}{p}_n=n$，且

$$⟨p_n,p_m{⟩}_w=0(n\ne m),$$

则 $(p_n{)}_{n\ge 0}$ 称为关于 $(I,w)$ 的正交多项式序列。每一阶多项式在固定首项系数或单位范数后唯一；从 $1,x,x^2,\dots$ 作 Gram–Schmidt 可证明其存在，但实际计算通常使用递推而非反复投影单项式。

取首一多项式 ${\pi }_n$，在正测度具有无限支撑的标准条件下存在三项递推

$${\pi }_{n+1}(x)=(x-{\alpha }_n){\pi }_n(x)-{\beta }_n{\pi }_{n-1}(x),{\beta }_n>0,$$

其中

$${\alpha }_n=\frac{⟨x{\pi }_n,{\pi }_n{⟩}_w}{⟨{\pi }_n,{\pi }_n{⟩}_w},{\beta }_n=\frac{⟨{\pi }_n,{\pi }_n{⟩}_w}{⟨{\pi }_{n-1},{\pi }_{n-1}{⟩}_w}.$$

在这些条件下，${\pi }_n$ 的 $n$ 个零点均为 $I$ 内部的互异实数，并与 ${\pi }_{n+1}$ 的零点交错。这些结论依赖正权和适当测度，不能无条件推广到符号变化权或有限支撑。

直觉 ​

单项式基把所有次数都绑在同一个坐标尺度上，投影系数彼此耦合；正交基则按问题的权重把不同次数分成互不干扰的方向。权函数强调哪些区域重要，区间规定对象的几何范围，因此换一个权或区间会得到不同的“自然坐标系”。

三项递推把升一阶所需的信息压缩到前两阶；交错零点则在区间中形成结构化节点。这两项结构分别支撑稳定求值和 Gaussian 求积，而不是特殊函数目录中的偶然公式。

例子与边界 ​

在 $[-1,1]$ 上取 $w(x)=1$ 得 Legendre 多项式。标准归一化下

$$P_0(x)=1,P_1(x)=x,P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1),$$

并且 ${\int }_{-1}^1{P}_2(x)dx=0$、${\int }_{-1}^{1}x{P}_2(x)dx=0$。这些正交关系来自函数积分，不是把系数向量 $(0,0,1)$ 与其他系数作普通 Euclidean 点积。

四个常见家族对应不同测度：第一类 Chebyshev 多项式位于 $[-1,1]$、权为 $(1-x^2{)}^{-1/2}$；Legendre 位于同一区间、权为 $1$；Hermite 位于整条实轴、权通常取 $e^{-x^2}$；Laguerre 位于 $[0,\mathrm{\infty })$、基本权为 $e^{-x}$。名称相近不表示它们能在同一内积下互换。

若权函数改变符号，积分形式可能不再正定，“范数”、实零点和 ${\beta }_n>0$ 等结论都可能失败。若测度只有有限个支撑点，足够高次的非零多项式可能在全部支撑点消失，内积退化，也不能继续声称存在无限正交序列。

推论与应用 ​

正交多项式的零点给 Gaussian 求积节点；Chebyshev 多项式公理库Chebyshev 多项式与节点Chebyshev polynomials and nodes · Chebyshev nodes以余弦表示和端点聚集节点控制区间上一致逼近、插值条件性与高次振荡。的余弦结构给接近一致范数最优的插值节点；在最小二乘和谱方法中，正交展开把投影方程化为对角或结构化形式。它们共享的是内积与递推结构，不必把所有算法塞进本页。

实际高阶计算应使用三项递推、Clenshaw 型求值或成熟库，而不是先展开成巨大单项式系数。数学正交性提供结构，有限精度实现仍需检查缩放、溢出和递推的方向稳定性。

参考资料

• NIST Digital Library of Mathematical Functions, Chapter 18: Orthogonal Polynomials.
• Walter Gautschi, Orthogonal Polynomials: Computation and Approximation, Oxford University Press, 2004.
• Gábor Szegő, Orthogonal Polynomials, 4th ed., American Mathematical Society, 1975.