正交多项式 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $I\subseteq\mathbb R$ 是有非空内部的区间，可测权函数 $w(x)>0$ 几乎处处成立。先假设每阶绝对矩都有限，即 $\int_I |x|^k w(x)\,dx<\infty$ 对每个整数 $k\ge0$ 成立；这里一般按Lebesgue 积分解释。在多项式环 $\mathbb R[x]$ 上定义

\langle p,q\rangle_w =\int_I p(x)q(x)w(x)\,dx.

这是多项式函数空间上的内积。全部矩有限保证每个多项式对的积分有定义。若只需构造到次数 $n$ ，则只须直到 $2n$ 阶的绝对矩有限，并把内积先限制在 $\mathcal P_n$ 上；这时只能推出 $p_0,\ldots,p_n$ 的存在，不能据此声称得到整个 $\mathbb R[x]$ 上的内积或无限序列。

若 $\deg p_n=n$ ，且

\langle p_n,p_m\rangle_w=0\qquad(n\ne m),

则 $(p_n)_{n\ge0}$ 称为关于 $(I,w)$ 的正交多项式序列。每一阶多项式在固定非零首项系数后唯一；若改用单位范数，还须规定首项系数为正，否则 $p_n$ 与 $-p_n$ 都符合要求。对每个有限初段 $1,x,x^2,\ldots,x^n$ 作Gram–Schmidt 正交化，再按所需首项系数缩放，可证明其存在，但实际计算通常使用递推而非反复投影单项式。

首一指最高次项系数为 $1$ 。取 $\pi_0=1$ 、 $\pi_1=x-\alpha_0$ ，在上述正权条件下，对 $n\ge1$ 存在三项递推

\pi_{n+1}(x) =(x-\alpha_n)\pi_n(x)-\beta_n\pi_{n-1}(x), \qquad \beta_n>0,

其中

\alpha_n=\frac{\langle x\pi_n,\pi_n\rangle_w} {\langle\pi_n,\pi_n\rangle_w}, \qquad \beta_n=\frac{\langle\pi_n,\pi_n\rangle_w} {\langle\pi_{n-1},\pi_{n-1}\rangle_w}.

在这些条件下， $\pi_n$ 的 $n$ 个零点均为 $I$ 内部的互异实数，并与 $\pi_{n+1}$ 的零点交错。这些结论依赖正权和适当测度，不能无条件推广到符号变化权或有限支撑。

直觉

单项式基把所有次数都绑在同一个坐标尺度上，投影系数彼此耦合；正交基则按问题的权重把不同次数分成互不干扰的方向。权函数强调哪些区域重要，区间规定对象的几何范围，因此换一个权或区间会得到不同的“自然坐标系”。

为什么只需三项？把 $x\pi_n$ 展开到 $\pi_0,\ldots,\pi_{n+1}$ 中。若 $j\le n-2$ ，则 $\langle x\pi_n,\pi_j\rangle_w=\langle\pi_n,x\pi_j\rangle_w=0$ ，因为 $x\pi_j$ 的次数低于 $n$ 。因此只剩下第 $n+1,n,n-1$ 阶三个方向。三项递推把升一阶所需的信息压缩到前两阶；交错零点则在区间中形成结构化节点。这两项结构分别支撑稳定求值和 Gaussian 求积，而不是特殊函数目录中的偶然公式。

例子与边界

在 $[-1,1]$ 上取 $w(x)=1$ 得 Legendre 多项式。标准归一化下

P_0(x)=1,\qquad P_1(x)=x,\qquad P_2(x)=\frac12(3x^2-1),

可以从投影一步步得到它们。 $x$ 与常数的内积为零，所以 $\pi_1=x$ 。为修正 $x^2$ ，其在常数方向上的投影系数为 $(\int_{-1}^1x^2\,dx)/(\int_{-1}^1 1\,dx)=(2/3)/2=1/3$ ；在 $x$ 方向的投影为零。因此 $\pi_2=x^2-1/3$ ，再乘 $3/2$ 得到满足 $P_2(1)=1$ 的标准形式。直接积分可验 $\int_{-1}^1P_2(x)\,dx=0$ 、 $\int_{-1}^1xP_2(x)\,dx=0$ 。这些正交关系来自函数积分，不能改成系数向量的普通 Euclidean 点积；例如 $P_2$ 的常数系数为 $-1/2$ ，却仍与常数函数正交。

上述 Legendre 计算的被积函数连续，因而可直接按Riemann 积分求得，与 Lebesgue 值一致；经典端点奇异权或无限区间也常使用收敛的反常积分。一般可测权不能只靠这条经典路径覆盖：例如 $[0,1]$ 上 $w=1+\mathbf1_{\mathbb Q}$ 几乎处处等于 $1$ ，所有 Lebesgue 矩有限且给出相同的正交多项式，但该权不 Riemann 可积。

四个常见家族对应不同测度：第一类 Chebyshev 多项式位于 $[-1,1]$ 、权为 $(1-x^2)^{-1/2}$ ；Legendre 位于同一区间、权为 $1$ ；Hermite 位于整条实轴、权通常取 $e^{-x^2}$ ；Laguerre 位于 $[0,\infty)$ 、基本权为 $e^{-x}$ 。名称相近不表示它们能在同一内积下互换。

若权函数改变符号，积分形式可能不再正定，“范数”、实零点和 $\beta_n>0$ 等结论都可能失败。若测度只有有限个支撑点，足够高次的非零多项式可能在全部支撑点消失，内积退化，也不能继续声称存在无限正交序列。

这一退化可以变成信息，而不只是停止计算的原因。一元平坦矩证书先要求前一阶矩阵正定，再以最后Schur余量为零证明一个非零首一多项式的平方矩值为零；全部正代表于是只能落在其有限实根上。尚未退化的有限阶内积则可形成Christoffel函数，以标准正交多项式的平方和认证单点质量，而不声称已恢复整份测度。

推论与应用

正交多项式的零点给 Gaussian 求积节点；Chebyshev 多项式的余弦结构给接近一致范数最优的插值节点；在最小二乘和谱方法中，正交展开把投影方程化为对角或结构化形式。它们共享的是内积与递推结构，不必把所有算法塞进本页。

实际高阶计算应使用三项递推、Clenshaw 型求值或成熟库，而不是先展开成巨大单项式系数。数学正交性提供结构，有限精度实现仍需检查缩放、溢出和递推的方向稳定性。对 Chebyshev 有限展开，Clenshaw 求和给出反向递推、首项规范和可复算的收尾恒等式；它不要求重新构造这些正交多项式。

参考资料

NIST Digital Library of Mathematical Functions, §18.2 General Orthogonal Polynomials，尤其 (iv) 递推与 (vi) 零点, accessed 2026.
Walter Gautschi, Orthogonal Polynomials: Computation and Approximation, Oxford University Press, 2004.
Gábor Szegő, Orthogonal Polynomials, 4th ed., American Mathematical Society, 1975.

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