单项式序

多元多项式没有像一元次数那样唯一自然的首项。单项式序人为选择一个稳定方向，使每次约简都把当前最大单项式换成更小者。乘法相容保证同一比较在乘上任意单项式后不翻转；良序保证不存在无限严格下降链，所以基于首项消去的算法不会只因选择越来越小的单项式而永远运行。

三种常用顺序体现不同目标。lex 极重视最早变量，因而能把含 $x_1$ 的项整体推到不含 $x_1$ 的项之前，适合消元；graded orders 尊重总次数，通常让中间多项式较温和；grevlex 在同次数内偏好末端变量指数较小的项，实践中常比 lex 产生更小的计算。顺序没有改变理想，却改变用来观察理想的首项轮廓。

在 $K[x,y,z]$ 中固定 $x\succ y\succ z$，比较

两者总次数都是 $3$。lex 与 graded lex 首先看到 $x$ 指数 $2>1$，所以 $x^{2}z\succ x{y}^2$；grevlex 看最右差异在 $z$，指数 $0$ 较小的 $x{y}^2$ 反而更大。因此对 $f=x^{2}z+x{y}^2$，前两种顺序给 $\mathrm{LM}(f)=x^{2}z$，grevlex 给 $\mathrm{LM}(f)=x{y}^2$。若再加入 $y^4$，两种 graded order 都因总次数 $4$ 先选 $y^4$，而 lex 仍选含 $x^2$ 的项。

良序是具体边界。若为了局部幂级数计算而规定 $1\succ x\succ x^2\succ \cdots$，就得到无限下降链；这种 local order 有用途，但普通 Buchberger 终止证明不能直接套用。单项式序也只比较幂，不比较系数大小；浮点系数“接近零”并不会改变 LM 的代数定义，却会让数值实现极不稳定。

在一元环中，所有满足定义的全局单项式序都按指数增长排列，差异基本消失；真正丰富性来自多元指数向量。非交换词代数中的 admissible order 还要处理左右拼接，不是把 ${\mathbb{N}}^n$ 的定义原样复制即可。

稀疏表示公理库稀疏多项式表示Sparse polynomial representation · Term-list polynomial representation只保存非零系数及其指数、以项数而非最高次数计量规模的多项式编码。在多元情形把非零项存成指数向量与系数的记录；按固定单项式序维护记录后，首项访问、归并加法和多项式约简都有确定结果。哈希表可以加速合并相同指数，却不能取代顺序本身，因为 Gröbner 算法必须反复知道当前最大可约项。

固定单项式序后，S-多项式公理库S-多项式S-polynomial · S-pair polynomial以首单项式最小公倍数对齐并消去两个多项式的首项，从而暴露新的理想首项。能精确对齐两个首项，Gröbner 基公理库Gröbner 基Gröbner basis · Groebner basis其首单项式生成理想全部首单项式理想的有限生成集，使成员判定与消元可算法化。则要求一个理想的所有首单项式都被有限集合控制。lex 的 elimination theorem 进一步保证：若 $G$ 是关于 $x_1\succ \cdots \succ x_n$ 的 lex Gröbner 基，那么 $G\cap K[x_{\ell +1},\dots ,x_n]$ 是相应消元理想的 Gröbner 基。这个结论依赖具体顺序，不能把任意 grevlex 基中“不含前几个变量的式子”也称为同样的消元基。