Nakayama 引理

商 $M/\mathfrak{m}M$ 是模在局部环闭点上的纤维，其中的系数已化为剩余域中的数。Nakayama 引理把这个向量空间中的生成问题提升回 $M$：只要选定元素的像张成纤维，这些元素就生成整个有限生成模。

有限生成条件使这种直觉可由一个有限矩阵封闭。若 $M=(m_1,\dots ,m_r)$ 且 $IM=M$，可写

令 $A=(a_{ij})$，则 $(E-A)m=0$。用伴随矩阵得到

行列式展开表明 $\det (E-A)=1-a$，其中 $a\in I$。因为 $a$ 属于每个极大理想，$1-a$ 不属于任何极大理想，否则该理想会同时包含 $a$ 与 $1-a$，进而包含 $1$。所以 $1-a$ 是单位，$(1-a)M=0$ 便推出 $M=0$。这就是行列式理路行列式Determinant交换含幺环上方阵的交替多线性标量不变量。技巧。

取 $R=k[[t]]$、$\mathfrak{m}=(t)$，以及 $M=R/(t^3)$。商

由 $1$ 的像生成，所以提升 $1+t$ 的类也生成 $M$。可以直接计算

从而用 $1+t$ 生成 $1$，也就生成整个商模。这个生成元在 $R$ 上仍有关系 $t^3(1+t)=0$，因此 $M$ 是一个单生成模，却不是秩一自由模。纤维中的一组基提升后保证生成，原模中的关系则仍然存在。

有限生成条件可以用分母看清。令 $R={\mathbb{Z}}_{(p)}$，其极大理想为 $pR$，把 $\mathbb{Q}$ 看作 $R$-模。因为乘以 $p$ 在 $\mathbb{Q}$ 上可逆，

而 $\mathbb{Q}$ 不是有限生成 $R$-模：任取有限组有理数，都存在 $N$ 使它们属于 $p^{-N}R$，它们的 $R$-线性组合也留在其中，却生成不了 $p^{-(N+1)}$。无限增加的分母使这个非零模在模掉 $p$ 后完全消失。

Jacobson 根条件也有独立作用。取 $R=\mathbb{Z}$、$I=(2)$、$M=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$，乘以 $2$ 在 $M$ 上可逆，所以 $IM=M\ne 0$。这个模虽有限生成，但 $(2)$ 不包含于 $\mathrm{Jac}(\mathbb{Z})=(0)$，故消失结论不适用。

若 $M$ 是有限生成局部环模，元素 $m_1,\dots ,m_r$ 构成最小生成组，当且仅当它们在 $M/\mathfrak{m}M$ 中的像构成剩余域上的一组基。因此最小生成元个数为

若 $f:M\to N$ 是有限生成模之间的同态且

满射，则对余核理路余核Cokernel · 余核对象将目标模中已被同态像命中的部分商去，留下映射未覆盖方向的泛性质对象。应用 Nakayama 可知 $f$ 本身满射。

在代数几何中，这一机制也能得到邻域上的生成性。设 $M$ 是环 $A$ 上的有限生成模，选定元素在某点 $\mathfrak{p}$ 的纤维中生成。对局部化理路环的局部化Localization of rings把指定乘法闭集中的元素形式地变为可逆元所得的环。所得的局部环 $A_{\mathfrak{p}}$ 应用引理，可知它们生成 $M_{\mathfrak{p}}$。令 $C$ 为它们在 $M$ 中生成的子模的余商，则 $C_{\mathfrak{p}}=0$；取 $C$ 的有限组生成元，为每个生成元选一个不在 $\mathfrak{p}$ 中的消去因子，再把这些因子相乘，便得到 $s\notin \mathfrak{p}$ 且 $C_s=0$。所以同一组元素在整个开邻域 $D(s)$ 上都生成。

局部自由层理路局部自由层与代数线丛Locally free sheaf · Invertible sheaf用原点理想展示局部自由性的失败，再构造射影直线的负线丛，区分局部标架、全局基和点纤维。还要排除这些生成元之间的关系。仿射平面上的理想 $(x,y)$ 在非原点处自由秩1，原点的 $\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ 却为二维；这给出“泛点秩1”仍不足以保证处处局部自由的例子。

将本页的最少生成元结论应用于极大理想，得到 $\mu (\mathfrak{m})={\dim }_k(\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2)$。正则局部环理路正则局部环Regular local ring比较极大理想的一阶生成元数与 Krull 维数来定义正则性；用抛物线和尖点计算嵌入维数，并说明基域条件。把这个一阶维数与 Krull 维数比较：抛物线原点两者都是一，尖点原点的一阶维数却为二，揭示线性近似遗漏了非线性约束。