局部环

“局部”不是指环的元素很少，而是指它只有一个闭点。模掉 $\mathfrak{m}$ 后得到的剩余域描述该点上的数值；落在 $\mathfrak{m}$ 中的元素在点上消失，极大理想外的元素则已经可逆，因而在点附近不会制造新的零点。这样，许多全局选择问题被压缩成“模 $\mathfrak{m}$ 后是否成立”。

局部环的单位判据尤其有力。若 $x\in \mathfrak{m}$，则 $1-x$ 不可能也在 $\mathfrak{m}$，否则 $1$ 会落入 $\mathfrak{m}$；故 $1-x$ 是单位。这个简单事实支撑 Nakayama 引理、幂级数求逆以及许多逐阶提升论证。它并不声称 $\mathfrak{m}$ 中的元素都幂零；在一般局部环中，极大理想可包含永不幂零的元素。

域 $k$ 是最小的局部环，唯一极大理想为 $(0)$。整数在素数 $p$ 处的局部化 ${\mathbb{Z}}_{(p)}$ 也是局部环，极大理想为 $p{\mathbb{Z}}_{(p)}$。形式幂级数环

的唯一极大理想是 $(t)$：幂级数当且仅当常数项非零时可逆，其逆可逐项递归求出。这里 $t$ 不是幂零元，说明局部环的极大理想远不必等于幂零根。

多项式环 $k[x]$ 通常不是局部环；当 $k$ 代数闭时，每个 $(x-a)$ 都是极大理想。把它在 $(x)$ 处局部化后得到 $k[x{]}_{(x)}$，才把注意力集中到原点。两个非零环的直积 $R\times S$ 也不是局部环，因为至少有极大理想 $\mathfrak{m}\times S$ 与 $R\times \mathfrak{n}$。另一方面，局部环不必只有一个素理想：$k[x,y{]}_{(x,y)}$ 中有

只是唯一的极大理想为 $(x,y)$。

若 $(R,\mathfrak{m})$ 局部且 $I⊊R$，则 $I\subseteq \mathfrak{m}$，商环 $R/I$ 仍局部，唯一极大理想为 $\mathfrak{m}/I$。但任意子环不保持局部性，例如局部域 $\mathbb{Q}$ 的子环 $\mathbb{Z}$ 有无穷多个极大理想。

局部环中也不存在非平凡幂等元。若 $e^2=e$，则 $e(1-e)=0$；而 $e+(1-e)=1$ 保证二者至少一个是单位。若 $e$ 是单位便有 $e=1$，若 $1-e$ 是单位便有 $e=0$。因此非平凡直积分解会被唯一极大理想排除，这从另一个角度说明局部环只聚焦一个分支。

局部环把有限生成模问题化为剩余域上的线性代数。对有限生成 $R$-模 $M$，商 $M/\mathfrak{m}M$ 是 $k$-向量空间；其一组基的任意提升会生成 $M$。最小生成元个数因此等于

这正是 Nakayama 引理的核心后果。

几何上，空间在一点的局部性质由该点的局部环编码：维数、正则性、奇异性以及函数是否可逆，都可在局部环内判断。对素理想 $\mathfrak{p}$，局部化 $R_{\mathfrak{p}}$ 的唯一极大理想是 $\mathfrak{p}{R}_{\mathfrak{p}}$；这解释了为何“在每个素点处验证”能检测许多模论和环论性质。局部环也让中国剩余式的分支分解消失：互素的两个真理想不能同时存在，因为它们之和若为 $R$，会给出两个非单位之和等于 $1$。