F 分布

形式陈述 ​

设 $U\sim {\chi }_{d_1}^2$、$V\sim {\chi }_{d_2}^2$ 且二者独立公理库独立性Statistical independence若干 σ-代数的任意有限事件选择都按概率乘积分解的性质。。随机变量

$$F=\frac{U/d_1}{V/d_2}$$

服从分子自由度 $d_1>0$、分母自由度 $d_2>0$ 的 $F$ 分布，记作 $F\sim F_{d_1,d_2}$。在 $x>0$ 上其密度为

$$f(x)=\frac{\mathrm{\Gamma }((d_1+d_2)/2)}{\mathrm{\Gamma }(d_1/2)\mathrm{\Gamma }(d_2/2)}{\left(\frac{d_1}{d_2}\right)}^{d_1/2}{x}^{d_1/2-1}{(1+\frac{d_1}{d_2}x)}^{-(d_1+d_2)/2}.$$

它只取正值并通常右偏。当 $d_2>2$ 时

$$\mathbb{E}[F]=\frac{d_2}{d_2-2};$$

当 $d_2>4$ 时方差存在。分母靠近零会产生长右尾，矩存在范围主要受分母自由度控制。

倒数满足

$$F\sim F_{d_1,d_2}⟹F^{-1}\sim F_{d_2,d_1}.$$

自由度顺序随倒数交换，而分布本身一般不对称，因此 $F_{d_1,d_2}$ 与 $F_{d_2,d_1}$ 不能混用。

若令 $B=d_{1}F/(d_{1}F+d_2)$，则 $B$ 服从 Beta$(d_1/2,d_2/2)$。这给出分布函数与分位数计算的稳定转换，也说明 $F$ 的右尾对应 Beta 变量逼近一。它是分布之间的精确变换，不需要大样本近似。

直觉 ​

每个卡方变量除以自己的自由度后，成为均值约为一的“平方波动尺度”。$F$ 分布比较两个独立尺度估计：分子异常大或分母异常小都会产生大的比值。它天然适合方差比、解释平方和与残差平方和之比。

自由度记录两个尺度各自由多少独立正态方向估计。分母自由度小时，尺度估计容易偶然接近零，右尾很厚；自由度增加后，比值更集中在一附近。

例子与计算 ​

设两组独立正态样本

$$X_1,\dots ,X_m\sim N({\mu }_X,{\sigma }_X^2),Y_1,\dots ,Y_n\sim N({\mu }_Y,{\sigma }_Y^2),$$

并分别计算无偏样本方差 $S_X^2,S_Y^2$。由正态样本方差的卡方分布，

$$U=\frac{(m-1)S_X^2}{{\sigma }_X^2}\sim {\chi }_{m-1}^2,V=\frac{(n-1)S_Y^2}{{\sigma }_Y^2}\sim {\chi }_{n-1}^2,$$

且两者独立。因此

$$\frac{S_X^2/{\sigma }_X^2}{S_Y^2/{\sigma }_Y^2}\sim F_{m-1,n-1}.$$

在零假设 ${\sigma }_X^2={\sigma }_Y^2$ 下，原始方差比 $S_X^2/S_Y^2$ 服从 $F_{m-1,n-1}$。若交换分子分母，统计量变为倒数，临界值和自由度也必须同步交换。

线性回归中，若嵌套模型新增 $q$ 个系数，正态同方差误差下可比较

$$F=\frac{({\mathrm{RSS}}_{reduced}-{\mathrm{RSS}}_{full})/q}{{\mathrm{RSS}}_{full}/(n-p_{full})}.$$

零假设下，分子是新增方向解释的平方和，分母是剩余噪声均方；正交投影使两部分独立，故得到 $F_{q,n-p_{full}}$。

边界与失败情形 ​

独立性不能省略。若分子、分母来自重叠数据或相关平方和，它们即使边缘各自是标准化卡方，比值也未必服从 $F$。线性模型的精确 $F$ 分解依赖投影子空间正交与正态误差。

正态性对小样本方差比检验尤其关键。重尾或偏斜分布会使样本方差高度不稳定，名义 $F$ 临界值可能严重失准；稳健的尺度检验或重抽样方法有不同假设，不能继续声称精确 $F$ 分布。

较大的 $F$ 值只说明分子均方相对分母均方大。它不自动说明实际效应重要，也不定位哪些系数非零；多自由度整体检验拒绝后还需估计、区间与预先规定的对比解释。

当备择使分子二次型具有非零均值时，统计量服从非中心 $F$ 分布。用中心 $F$ 描述备择下功效会错误；中心分布主要负责零假设校准。

推论与应用 ​

若 $T\sim t_{\nu }$，则

$$T^2\sim F_{1,\nu }.$$

因此单个回归系数的双侧 $t$ 检验与单自由度 $F$ 检验给出相同 p 值。$F$ 统计量没有符号，所以多参数整体检验只判断是否存在偏离，不保留方向。

$F$ 分位数可反演正态总体方差比的置信区间，也构成 ANOVA 与嵌套线性模型检验的有限样本基准。更一般模型中的“F-type”统计量可能只渐近服从相应分布，必须写明近似范围。

参考资料

• George Casella and Roger L. Berger, Statistical Inference, 2nd ed., Duxbury, 2002，§5.3。
• T. W. Anderson, An Introduction to Multivariate Statistical Analysis, 3rd ed., Wiley, 2003，Ch. 2–3。
• George A. F. Seber and Alan J. Lee, Linear Regression Analysis, 2nd ed., Wiley, 2003，Ch. 2–3。