F 分布

每个卡方变量除以自己的自由度后，成为均值恰为一的“平方波动尺度”。$F$ 分布比较两个独立尺度估计：分子异常大或分母异常小都会产生大的比值。它天然适合方差比、解释平方和与残差平方和之比。

自由度记录两个尺度各自由多少独立正态方向估计。分母自由度小时，尺度估计容易偶然接近零，右尾很厚；两个自由度都增加后，比值才逐渐集中在一附近。仅增加分子自由度，分母的随机波动仍会保留下来。

设两组相互独立、组内独立同分布的正态样本，样本量 $m,n\ge 2$

其中 ${\sigma }_X^2,{\sigma }_Y^2>0$，并分别计算无偏样本方差 $S_X^2,S_Y^2$。由正态样本方差的卡方分布，

且两者独立。因此

例如 $m=6,n=11$，观测到 $S_X^2=8,S_Y^2=2$，原始比值为 $4$。在零假设 ${\sigma }_X^2={\sigma }_Y^2$ 下，共同总体方差约去，应把 $4$ 放进 $F_{5,10}$ 的上尾计算概率；不能把样本量 $6,11$ 直接当成自由度。交换两组后，比值变为 $1/4$，对应 $F_{10,5}$ 的下尾。两种写法描述同一个事件，尾方向与自由度都要随倒数改变。

若真实方差比是 $\rho ={\sigma }_X^2/{\sigma }_Y^2$，则 $(S_X^2/S_Y^2)/\rho \sim F_{m-1,n-1}$。这也解释了为什么检验等方差时才能直接使用未经总体方差比校正的统计量。

线性回归中，在固定、满列秩设计下，若完整模型有 $p_{full}<n$ 个系数，嵌套的简化模型少 $q\ge 1$ 个系数，误差独立服从 $N(0,{\sigma }^2)$ 且 ${\sigma }^2>0$ 时，可比较

零假设下，分子是新增方向解释的平方和，分母是剩余噪声均方；两部分是联合正态理路多元正态分布Multivariate normal distribution · Multivariate Gaussian distribution · Jointly Gaussian vector以所有线性组合都正态刻画联合高斯向量，并由特征函数连接线性构造、退化支撑、全维密度与条件分布。噪声在正交子空间中的投影，交叉协方差为零因而独立，故得到 $F_{q,n-p_{full}}$。

边界与失败情形 ​

独立性不能省略。若分子、分母来自重叠数据或相关平方和，它们即使边缘各自是标准化卡方，比值也未必服从 $F$。最直接的反例是取 $V=U$ 且自由度相同：比值恒为一，显然不是连续的 $F$ 随机变量。线性模型的精确 $F$ 分解依赖投影子空间正交与正态误差。

正态性对小样本方差比检验尤其关键。重尾或偏斜分布会使样本方差高度不稳定，名义 $F$ 临界值可能严重失准；稳健的尺度检验或重抽样方法有不同假设，不能继续声称精确 $F$ 分布。

较大的 $F$ 值只说明分子均方相对分母均方大。它不自动说明实际效应重要，也不定位哪些系数非零；多自由度整体检验拒绝后还需估计、区间与预先规定的对比解释。

在上述正态回归模型中，若备择使分子投影向量的均值非零，而分母仍是独立的中心卡方量，则统计量服从非中心 $F$ 分布。分子平方和即使在零假设下也有正均值，不能仅凭平方和的均值非零来判断非中心性。用中心 $F$ 描述备择下功效会错误；中心分布主要负责零假设校准。

计算这份非中心F功效理路非中心χ²、t与F分布Noncentral distributions · Noncentral chi-square distribution · Noncentral t distribution · Noncentral F distribution · 非中心卡方分布 · 非中心t分布 · 非中心F分布先移动正态均值再平方或除以独立随机尺度，统一得到非中心χ²、t和F，并用Poisson混合与条件积分计算备择下的功效。时，Poisson混合不仅改变分子自由度，还须保留原统计量的标准化：条件自由度$d_1+2j$对应$(d_1+2j)/d_1$倍的中心F。把分母也改成非中心量，或取倒数后仍套只有分子非中心的公式，都改变了分布合同。

若 $T\sim t_{\nu }$，则

因此单个回归系数的双侧 $t$ 检验与单自由度 $F$ 检验给出相同 p 值。$F$ 统计量没有符号，所以多参数整体检验只判断是否存在偏离，不保留方向。

$F$ 分位数可反演正态总体方差比的置信区间，也构成ANOVA理路方差分析Analysis of variance · ANOVA将组均值比较表示为线性模型，并把总平方和正交分解为组间与组内部分。与线性模型推断理路普通最小二乘推断Ordinary least squares inference · OLS inference在线性模型假设下推导 OLS 系数分布、标准误及有限样本 t/F 推断。的有限样本基准。更一般模型中的“F-type”统计量可能只渐近服从相应分布，必须写明近似范围。