Slutsky 定理

形式陈述 ​

设随机向量 $X_n\stackrel{d}{\to }X$，随机向量 $Y_n\stackrel{p}{\to }c$，其中 $c$ 是确定常量。则在维数匹配时

$$X_n+Y_n\stackrel{d}{\to }X+c,$$$$X_n{Y}_n\stackrel{d}{\to }Xc,$$

并且若 $c\ne 0$，

$$\frac{X_n}{Y_n}\stackrel{d}{\to }\frac{X}{c}.$$

更一般地，若 $g(x,y)$ 在所有 $(x,c)$、$x$ 属于 $X$ 的概率一支持处连续，则

$$g(X_n,Y_n)\stackrel{d}{\to }g(X,c).$$

这里 $X_n$ 与 $Y_n$ 无需独立。关键是 $Y_n$ 的极限为常量；依概率收敛公理库依概率收敛Convergence in probability随机变量偏离极限超过任意正阈值的概率趋于零。足以使联合向量 $(X_n,Y_n)$ 依分布收敛到 $(X,c)$，再应用连续映射定理。

证明骨架 ​

先处理差 $Y_n-c=o_P(1)$。对任意有界连续测试函数 $f$，$X_n$ 的紧性使其高概率落在某个紧集，而 $Y_n$ 高概率靠近 $c$；$f$ 在相应紧邻域上一致连续，所以

$$f(X_n,Y_n)-f(X_n,c)\stackrel{p}{\to }0.$$

有界性把依概率收敛提升为期望差趋零，而 $X_n\stackrel{d}{\to }X$ 处理 $f(X_n,c)$，得到联合收敛。和、积、商只是选择具体连续 $g$。

这一路径展示了分母条件：$g(x,y)=x/y$ 在 $y=0$ 不连续，只有 $c\ne 0$ 才可直接应用。

例子与状态轨迹 ​

若中心极限定理给出

$$\frac{\sqrt{n}({\overline{X}}_n-\mu )}{\sigma }\stackrel{d}{\to }N(0,1),$$

而样本标准差 $S_n\stackrel{p}{\to }\sigma >0$，则

$$\frac{\sqrt{n}({\overline{X}}_n-\mu )}{S_n}=\frac{\sqrt{n}({\overline{X}}_n-\mu )/\sigma }{S_n/\sigma }\stackrel{d}{\to }N(0,1).$$

状态轨迹是：分子已有非退化分布极限，分母估计误差压缩到常量一；Slutsky 允许把未知尺度替换为一致估计。有限样本统计量一般不精确正态，结论只在 $n\to \mathrm{\infty }$ 下成立。

若 ${\hat{V}}_n\stackrel{p}{\to }V>0$ 且 $\sqrt{n}({\hat{\theta }}_n-{\theta }_0)\stackrel{d}{\to }N(0,V)$，同理得到 studentized 枢轴

$$\frac{\sqrt{n}({\hat{\theta }}_n-{\theta }_0)}{\sqrt{{\hat{V}}_n}}\stackrel{d}{\to }N(0,1).$$

该替换也可用随机阶记号表达：若 $X_n=O_P(1)$ 且 $Y_n-c=o_P(1)$，则 $X_n(Y_n-c)=o_P(1)$。于是 $X_n{Y}_n=c{X}_n+o_P(1)$，只要 $X_n$ 已有分布极限，微小乘法误差不会改变它。这一步仍要求 $X_n$ 紧，不能把一个可能爆炸的量与 $o_P(1)$ 相乘后武断地丢掉。

边界与失败情形 ​

若 $X_n\stackrel{d}{\to }X$、$Y_n\stackrel{d}{\to }Y$ 且两个极限都随机，只知道边缘收敛不足以推出和或积的极限。依赖结构可能随 $n$ 改变；需要联合收敛或额外独立条件。

例如令 $X_n=Z$。一种构造取 $Y_n=Z$，另一种取 $Y_n=-Z$，两者边缘都为同一对称分布，但 $X_n+Y_n$ 分别为 $2Z$ 与零。边缘极限完全相同，组合结果不同。

若分母极限为零，商可能发散或出现别的缩放极限。即使 $P(Y_n=0)=0$ 对每个 $n$，也不能绕过 $g$ 在极限点不连续的问题。

独立性既非必要也不能替代常量极限。若 $Y_n=X_n$ 且两者趋向同一非退化 $X$，依赖关系完全已知时可由联合收敛得到 $X_n{Y}_n\to X^2$；若只知道它们渐近独立，则需明确证明联合极限为乘积分布。

依概率趋于随机变量 $Y$ 时，若同时拥有 $(X_n,Y_n)$ 的联合收敛并且 $g$ 几乎处处连续，连续映射仍可用；不能只引用最简常量版本省略联合条件。

推论与应用 ​

Slutsky 定理是 plug-in 标准误、Wald 统计量和 nuisance 参数替换的基本接口。它只保证极限分布不变，不提供替换造成的有限样本误差大小。

与 Delta 方法结合时，先线性化估计函数，再用 Slutsky 替换未知 Jacobian 或协方差；每个替换量都需一致估计到非奇异极限。

常用等价表述是：若 $X_n\stackrel{d}{\to }X$ 且 $X_n-Z_n\stackrel{p}{\to }0$，则 $Z_n\stackrel{d}{\to }X$。取 $Y_n=Z_n-X_n$ 应用和的结论即可。这允许把复杂统计量替换为已知极限的渐近线性主项，但必须真正证明差在概率意义下消失。

参考资料

• A. W. van der Vaart, Asymptotic Statistics, Cambridge University Press, 1998，§2.8。
• Patrick Billingsley, Convergence of Probability Measures, 2nd ed., Wiley, 1999，Ch. 1。
• R. J. Serfling, Approximation Theorems of Mathematical Statistics, Wiley, 1980，§1.5。