有限假设类泛化界

有限性让数据依赖选择变成可枚举的多重比较：每个固定候选失败的概率指数下降，而同时保护所有候选只需支付候选数的对数。可实现设定还能把双边风险估计换成“坏规则是否零错幸存”的单侧事件。

可实现的一侧快界 ​

若存在零风险目标，任何错误率大于 $\epsilon$ 的 $h$ 在 $m$ 个样本上保持零错误的概率至多 $(1-\epsilon {)}^m\le e^{-m\epsilon }$。并集后，$m\ge (\log |\mathcal{H}|+\log \left(1/\delta \right))/\epsilon$ 足以排除所有坏的一致假设。这是 $1/\epsilon$，不能与一般双边估计的 $1/{\epsilon }^2$ 混淆。

类必须在看见样本前固定。连续或无限类的 $|\mathcal{H}|$ 可能无穷；需要增长函数、VC 或覆盖数替代全局计数，而不是把浮点参数精度随意当成类大小。

若 $|\mathcal{H}|=1000$、$m=5000$、$\delta =0.05$，双边偏差上界约为

因此 ERM 的类内超额风险由这条通用论证控制在约 $0.0652$。这是最坏情形保证；候选损失高度相关时，并集界可能很松，实际 gap 更小并不反驳定理。

数据依赖地生成候选类会破坏“预先固定”的证明。例如先在训练数据上搜索一百万个特征，再只把最好的十个称作 $\mathcal{H}$，不能把 $|\mathcal{H}|=10$ 代回上界；选择过程已经看过其余候选。可用独立样本完成筛选，或把整个搜索空间纳入复杂度控制。

点质量先验下的 PAC-Bayes 复杂度会恢复 $\log |\mathcal{H}|$，而无限二元类可用样本上的增长函数替代全局基数。二者说明真正支付的是数据能够区分的候选信息量，不一定是参数空间的表面大小。

该界也是有限模型选择和离散超参数网格的基础证书。候选若由同一数据生成，必须把生成过程一并计数或用独立样本隔离，否则事后缩小集合不会追回已经发生的选择偏差。