摊销通信复杂度

单份协议可能为协调、终止和罕见 transcript 支付额外 bit；许多独立副本并行时，典型序列编码会共享这些固定成本。不能继续压掉的是双方真正从对话中学到的输入信息，所以单位成本极限恰停在内部信息复杂度。

这不是Direct Sum 与 Direct Product公理库通信复杂度的 Direct Sum 与 Direct ProductDirect sum in communication complexity · Direct product in communication complexity比较同时求解 k 个独立实例所需的总通信，并研究通信不足时全部成功概率是否指数下降。页已有的有限 $n$ 张量接口。张量化只给每份至少一份信息；本页的第二方向还要证明所有低信息 transcript 在多副本极限中确实可被接近信息量地传送。

令 $f(x,y)=x\oplus y$，$X,Y$ 为独立均匀 bit，且只要求 Bob 输出。Alice 发送 $X$，通信一 bit，内部信息成本

对 $n$ 份，Alice 发送 $X^n$ 共 $n$ bit。反向，Bob 已知 $Y^n$ 后，正确输出 $X^n\oplus Y^n$ 就等价于恢复 $X^n$；零错误 transcript 至少携带 $H(X^n\mid Y^n)=n$ bit。故每份摊销成本恰为一，与信息成本相等。

若把输入副本改成完全相关的 $(X_i,Y_i)=(X_1,Y_1)$，只解一次即可，线性信息账本失效；所以 ${\mu }^n$ 是定理数据。若要求整个向量同时以概率 $1-\rho$ 正确，逐坐标错误界本身并不足够；逐份独立运行再用 union bound 时会把单坐标错误降到约 $\rho /n$，但联合协议也可能让各坐标错误高度相关。那是另一种复杂度，不能由本页等式机械换一个错误事件得到。

分布自由的 worst-case 版本要交换量词：一份 public-coin 协议必须对每个输入错误至多 $\rho$，其 prior-free 信息成本取所有先验 $\mu$ 的上确界；多副本协议也对每个输入元组逐坐标满足错误界。Braverman 的 prior-free 定理在正错误口径下同样给出该信息量等于 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{R}_{\rho }(f^{\otimes n};\text{逐坐标错误})/n$。它不是简单把固定分布等式外取 $\underset{\mu }{sup}$，协议必须在所有先验之间共用。

由此，任何Set Disjointness 信息下界公理库Set Disjointness 的信息复杂度Information complexity of Set Disjointness · Information-statistics lower bound for DISJ以单坐标 AND 的条件信息和 transcript Hellinger 距离证明 Set Disjointness 的线性信息下界。都会同时成为其乘积分布摊销通信下界。等式不声称有限 $n$ 精确线性，也不保 round：压缩协议可以增加交互。零错误 prior-free 情形还有额外边界，不能从 $\rho >0$ 的定理令 $\rho \to 0$ 而无证明取极限。