置换检验

置换检验不凭空假设一个参数分布，而是利用零假设下标签交换不会改变联合分布这一对称性。把观测数据固定后，所有允许置换形成条件参考分布；“允许哪些置换”由实验设计和交换性决定，而不是任意打乱都合法。

两样本例子 ​

若两组分别由同一分布独立抽样，且两组之间也独立，那么合并 $n_1+n_2$ 个观测后，组标签条件于合并值在所有 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_1+n_2}{n_1})$ 种分配间等可能。对均值差逐一重标记即可得到精确零分布；仅有每个观测的边缘分布相同，不足以保证这项标签交换性。

保持这个标签机制而改用秩统计量，便得到Wilcoxon–Mann–Whitney 检验理路Wilcoxon–Mann–Whitney 秩和检验Wilcoxon rank-sum test · Mann-Whitney U test用两组样本间的成对胜出次数或合并秩和检验共同分布，精确校准来自组标签交换，而中位数解释需要额外条件。；多个独立组的平均秩二次对比则给出Kruskal–Wallis 检验理路Kruskal–Wallis 检验Kruskal-Wallis test · Rank-based one-way test把多个独立组的平均秩相对总体平均秩的偏移合成二次统计量，并用标签置换或有条件的卡方近似检验共同分布。。其有限样本参考来自共同分布，而非仅仅各组中位数相等。

精确性证明与计算轨迹 ​

条件于观测轨道 ${\mathcal{O}}_x=\{gx:g\in G\}$，零假设下 $X$ 在轨道元素间均匀。于是 $T(X)$ 的秩也是离散均匀或在 ties 下超均匀，得到

再对轨道取期望即得无条件 level 控制。这个证明解释了为何必须用整个群作用或正确的随机化分布，而不是随意洗牌。

两样本例设组大小 $2,2$，合并观测 $(1,2,5,6)$，均值差绝对值为 $4$。六种选两项作为第一组的分配中，只有原极端分割及其标签交换达到绝对差 $4$，所以双侧精确 p 值为 $2/6=1/3$。小样本离散性使 p 值不能任意小。

若与数据独立地从 $G$ 均匀、有放回抽取 $B$ 个相互独立的群元素，得到统计量 $T_1^{\ast },\dots ,T_B^{\ast }$，则使用

把原排列纳入秩，避免报告不可能的零 p 值，并保持 Monte Carlo 检验校准。

边界 ​

精确性依赖交换性或指定随机化机制，不只依赖两组均值相等。异方差但均值相等时，原始标签通常不可交换，均值差置换检验未必有效；studentized permutation 可能渐近有效但不是同一有限样本定理。

配对设计应在配对内换符号或交换，聚类设计应置换整个集群。忽略设计单元会制造不存在的独立性。

在独立、关于零对称的配对差值模型下，Wilcoxon 符号秩检验理路Wilcoxon 符号秩检验Wilcoxon signed-rank test · Signed-rank test在独立且关于零对称的差值模型下，固定绝对值秩并翻转公平符号，得到配对或单样本位置检验的精确分布。固定绝对值秩并翻转公平符号。对称性保证符号与绝对值独立，不能只用中位数为零代替这个条件。

若先筛选变量、挑最大统计量再置换，必须在每个置换中重做筛选与最大化；只置换最终被选变量会低估选择造成的极端性。

置换分布可用于构造区间：对候选效应 ${\tau }_0$，先按 sharp null 调整观测并做随机化检验，再反演未拒绝的 ${\tau }_0$。Fisher sharp null 指每个单位处理效应完全指定，比“平均效应为零”强；两种零假设不可混用同一精确性声明。

在随机对照试验中，精确性来自已知 treatment assignment mechanism，即使响应不是 iid。观察性两样本比较则通常依赖组间交换性分布假设。相同置换代码可服务两种语境，但概率来源不同。

统计量选择影响 power 而不影响在不变性成立时的基本 level。均值差擅长位置移动，秩统计量对重尾更稳健，最大统计量适合稀疏坐标偏离。看完标签后挑统计量必须在置换中复制选择。

ties 会让轨道统计量重复。使用“至少同样极端”的计数产生保守 p 值；仅随机打破并列，得到的仍只是离散秩。若另取独立的 $U\sim \mathrm{Uniform}(0,1)$，将整个并列概率块随机展开为

则在群不变零假设下得到连续均匀的随机化 p 值。即使轨道只有一个元素，上式也为 $U$；没有额外随机化的秩则恒为一。固定取并列块中点的 mid-p 可能减保守，却不保持一般有限样本超均匀。

Kendall 秩关联理路Kendall τ 秩相关Kendall tau · Concordance rank correlation以两个独立观测对之间的同向和反向排序概率定义秩关联，并用随机排列推导独立原假设下的精确分布和方差。的独立性检验固定两列观测并置换其中一列的配对关系；有并列时仍可按实际统计量枚举。把完整观测对一起换位置不会改变关联，因而不是这里所需的参考变换。

计算全排列不可能时，可均匀抽取群元素。抽样算法若偏向某些排列，Monte Carlo p 值失效；受限置换还需确认采样覆盖正确的 block/stratum 群。

若零假设是某个协变量给定其余变量后与响应条件独立，已知的条件协变量律可支持条件随机化检验理路条件随机化检验Conditional randomization test · CRT for conditional independence · 条件协变量重抽样检验从已知协变量条件律重抽样单列，以统一评分和有限加一秩检验条件独立，并分清均匀洗牌、冻结拟合及随意停机的失效边界。。这时参考列未必来自均匀置换，原列和复制列的条件同分布才是秩校准依据。背景使各行成功概率不同时，仅保留列总数再均匀洗牌可能破坏参考律；需要明确条件权重，并在每个副本一致重算评分过程。

Freedman–Lane 等回归置换方案分别置换 residual、response 或 covariate，只有在相应误差交换性与零模型结构下才有效。把任意回归残差洗牌不会自动保持异方差或 leverage pattern。

置换置信区间通过检验反演得到，不等于 bootstrap percentile interval。前者依赖零假设不变群并控制检验错误，后者近似估计量抽样分布；重采样外观相似但逻辑不同。

对完整枚举得到的非随机化 p 值，若轨道规模小于 $1/\alpha$，其最小可能尾部比例就大于 $\alpha$，无法拒绝。这个完整枚举分辨率由实验允许的变换和观测到的并列结构决定，增加 Monte Carlo 抽取次数不会改变这些轨道概率。

加一公式得到的 Monte Carlo p 值则本身构成随机化检验，取值网格为 $1/(B+1)$；某次结果可以小于完整枚举的 p 值。它的 level 保证同时平均原数据与随机变换的随机性，不能仅把它理解成确定性 p 值的一次数值精度提升。

成组随机试验、配对符号翻转和区组设计对应不同的群作用理路群作用Group action群元素以保持单位元与乘法的方式作用于集合。与置换轨道。若完整枚举不可行，可用 Monte Carlo 置换并把模拟秩的不确定性计入p 值理路p 值p-value在零假设下校准的证据统计量，其小值事件的概率不超过对应阈值。；若交换性只在渐近或模型调整后成立，则需要 studentization 或专门置换定理，不能继续声称有限样本精确。

实际处理抽签还给出尖锐零假设随机化检验理路Fisher 尖锐零假设随机化检验Fisher randomization test · Sharp null randomization test把潜在结果固定、处理分配作为唯一随机源，在尖锐零假设下补全反事实，按已知分配概率计算加权尾部，并辨明平均效应零假设的边界。：先由假设补全未观察结果，再按已知分配概率求尾部。该分布可能不等权，也未必来自一个均匀群作用。配对随机实验理路配对随机实验Matched-pairs randomized experiment · Paired randomized design在每对独立抛币分配一人处理，以符号表示两种潜在组间差，推导精确设计方差和跨对保守估计，并保留随机分配与观测配对的边界。的独立公平币则提供对内符号翻转的设计依据；仅有观测配对仍需另外证明交换性。