工具变量识别

工具把一部分人的处理状态推动了，但在排除限制下不直接改变结果。工具对结果的平均推动量等于“被推动者比例”乘这些人的平均处理效应；除以工具对处理的推动量，就留下被推动者的效应。

单调性让推动方向一致。若有人因 $Z=1$ 接受处理、另一些人反而因它拒绝，分子和分母都是相反反应的净差，比率会成为带负权重的对比，不能再解释为某个普通子总体平均。

分母还有一个尺度作用：工具只改变 10% 人的处理时，即使这批人的平均效应很大，结果均值的变化也会被稀释到总体尺度；Wald 比率用同一个 first stage 去除这种稀释。它恢复的是由这个具体工具推动者的效应，因此换一个鼓励机制，即使处理和结局定义不变，也可能因为推动了不同人而得到不同 LATE。

设工具随机分配，人口依从类型为：25% always-taker，50% complier，25% never-taker，无 defier。于是

first stage 为 0.5。令三类人的处理效应依次为 4、2、$-2$，并为便于复算令各类 $Y(0)=0$。在排除限制下，$Z=1$ 时 always 与 complier 接受处理，故 $E(Y\mid Z=1)=0.25(4)+0.5(2)=2$；$Z=0$ 时只有 always 接受，均值为 1。Wald 比率为 $(2-1)/0.5=2$，正是 complier 效应。

全体 ATE 却是 $0.25(4)+0.5(2)+0.25(-2)=1.5$。工具没有揭示 always-taker 的未处理结果或 never-taker 的处理结果，不能由同一比率外推全体。

若 $Z$ 还让每个人的结果直接增加 1，排除限制失败，reduced form 从 1 变为 2，而 first stage 仍为 0.5，比率变为 4；它既不是 complier 的处理效应 2，也不是全体 ATE 1.5。资格通知同时提供额外服务、距离工具直接改变出行成本，都是这种实质失败。

相关性很弱时，识别在总体上可能仍成立，有限样本比率却因接近零的分母产生重尾和严重偏差，常规正态近似失真。报告 first-stage 强度与弱工具稳健区间是 estimation 要求，不能靠“大样本”口号略过。

工具独立性也可能失败。用医院偏好作工具时，患者按预后选择医院会使 $Z$ 与潜在结果相关；控制可测协变量只得到条件版本，还需相应 positivity 与无未测选择假设。

按四种潜在依从类型分解 reduced form：always 与 never 的处理不随 $Z$ 变，排除限制使其对结果差贡献为零；complier 贡献 $P(C)E\{Y(1)-Y(0)\mid C\}$；单调性删掉 defier。first stage 等于 $P(C)$，相除即得 LATE。这条推导清楚显示每项假设负责消去哪一部分。

多值或连续工具下，2SLS 常识别不同边际顺从者效应的加权平均，权重由工具导致的处理变化决定。异质效应下不能笼统称为 ATE。政策解释应说明哪些人会被该具体工具改变处理，而非把“局部”理解为地理邻域。