结构因果模型

每条方程是一个可替换模块：它描述变量在其原因给定时如何响应。观察 $A=a$ 只是筛选自然系统中恰好生成 $a$ 的单位；干预 $do(A=a)$ 则断开生成 $A$ 的旧机制，把所有单位送入同一个赋值模块。两者不同，正是混杂产生时条件分布与干预分布不同的根源。

图只保留方程间的依赖骨架，函数和外生分布保留效应大小、非线性与潜在共同原因。相同图可以容纳很多观测分布；相同观测分布也可来自因果方向不同的模型。因此箭头含义来自模块化因果假设，而非相关矩阵自动画出的方向。

令 $U_L\sim \mathrm{Bernoulli}(1/2)$，$U_A\sim \mathrm{Bernoulli}(0.2)$，$E(U_Y)=0$，三者独立，并设

其中 $\oplus$ 为异或。图为 $L\to A$、$L\to Y$、$A\to Y$。由于 $P(L=1\mid A=1)=0.8$、$P(L=1\mid A=0)=0.2$，

把 $A$ 的方程替换为 $A:=a$ 后，$L$ 的分布不变，故 $E(Y\mid do(1))=1+2E(L)=2$，$E(Y\mid do(0))=1$，因果差为 1。关联差 $2.2$ 因而混合了处理作用和 $L$ 的组成差异。这个例子还可以从观测量核验干预均值：由于每个 $L$ 层都有两种处理，且扰动独立，$E(Y\mid A=a,L=l)=a+2l$。按总体中两个 $L$ 层各半平均，得到 $a+1$，与替换方程的结果一致。第一种计算利用完整机制，第二种计算说明在这些假设下，效应确实可由观测分布识别。

本例的三节点图包含 $L\to A$、$L\to Y$、$A\to Y$，对观测分布没有额外的条件独立约束。因此即使 $U_A$ 与 $U_Y$ 相关，观测分布仍可满足它的因果 Markov 条件理路因果 Markov 条件Causal Markov condition · Causal Markov assumption将因果图的 d-separation 结构映射为观测分布条件独立关系的 Markov 假设。；但这不再保证观测条件均值 $E(Y\mid A,L)$ 等于只改变处理后的结果机制。相关噪声不使 SCM 失效，却要求在干预解释中保留潜在共同原因。对于确实有缺边的图，遗漏这样的共同原因还可能破坏图要求的条件独立。

SCM 与潜在结果表示可以相互翻译许多具体问题：方程替换生成 $Y(a)$。但二者不能粗暴称为完全等价。SCM 通常对所有变量的生成机制和跨世界耦合给出更多结构；只给出 $Y(0),Y(1)$ 的潜在结果分析未必指定中介方程或因果图。

循环反馈、多个方程解和随机动态系统超出递归唯一解的简单版本。可以使用带时间展开、平衡选择规则或循环 SCM，但干预语义与可识别结论需要重新声明。用 DAG 强行表示同期反馈会丢失问题的核心。

仍用上面的加性模型，若已观察某人的 $L=1,A=1,Y=4$，结构方程确定 $U_Y=1$。把同一个人的处理改为0后，$Y_0=0+2\times 1+1=3$；这与总体 $E(Y\mid do(0))=1$ 不同。前者保留已观测个体的外生状态，后者对总体所有外生状态平均。这也说明反事实分析需要比总体干预均值更多的条件信息。

当递归 SCM 的外生扰动相互独立时，观测分布按图的父节点分解；这给出 d-separation 可读出的条件独立。干预替换一个方程后，相应入边删除，得到截断分解。由此再推导 backdoor 调整与 do-calculus，而不是把这些公式当回归恒等式。

反事实查询按“溯因—行动—预测”计算：先用已观测证据更新外生状态分布，再替换干预方程，最后在更新后的同一外生状态上求新结果。若只先验模拟一个独立新个体，得到的是总体干预分布，不是对已观察个体的反事实；两种量的条件信息不同。