do 算子 | Codeboy's Blog

形式陈述

在递归的结构因果模型 $M=(U,V,F,P_U)$ 中，若 $A\in V$ 的自然方程为 $A=f_A(\operatorname{pa}_A,U_A)$ ，原子干预 $do(A=a)$ 生成子模型

M_a=(U,V,F\setminus\{f_A\}\cup\{A:=a\},P_U).

这里 $U$ 收集模型外的背景因素， $V$ 是模型内的变量， $F$ 是它们的生成方程； $P_U$ 指定背景因素在总体中的分布。替换后，原本决定 $A$ 的原因不再控制 $A$ ，但它们仍可通过其他方程影响结果。记 $Y_a(U)$ 为替换后算出的结果， $B$ 为任一可测结果集合，干预分布定义为：

P_M(Y\in B\mid do(A=a)):=P_{U}\{Y_a(U)\in B\}.

记号中的条件竖线不是普通概率条件； $do(a)$ 是模型变换。若递归模型的各节点外生扰动相互独立，观测 DAG 包含所需共同原因，且观测分布按 DAG 分解为 $p(v)=\prod_i p(v_i\mid\operatorname{pa}_i)$ ，则干预后的截断分解为

p(v_{-A}\mid do(A=a)) =\prod_{V_i\ne A}p(v_i\mid\operatorname{pa}_i)\big|_{A=a}.

截断式中的因子应取由结构方程和独立外生扰动指定的机制核。它们在观测到的父节点配置上与相应条件分布几乎处处相等；观测从未到达的配置则仍由结构模型赋值，不能从任意条件分布版本中读出唯一答案。要把这条模型内公式当成观测数据的识别式，还须检查干预后的配置是否有观测支持，以及连续变量的版本条件。

目标量（estimand）如 $E(Y\mid do(1))-E(Y\mid do(0))$ 属于干预分布。它是否能写成观测分布的泛函是识别（identification）问题；把识别式代入经验均值或模型是估计（estimation）。仅定义 do 算子不保证可识别。

直觉

观察 $A=a$ 是从自然生成机制中挑出恰好取值为 $a$ 的单位，这群人的共同原因也随选择改变。执行 $do(A=a)$ 则拆掉所有指向 $A$ 的入边，让原本会取其他值的单位也接受 $a$ 。因此 $P(Y\mid A=a)$ 保留选择信息， $P(Y\mid do(a))$ 描述系统被改造后的响应。

模块不变性是核心。干预只替换指定方程；若行动同时改变诊疗流程、测量方式或其他机制，就应把这些共同变化写进更完整的干预，而不能继续使用单节点 do 记号。

观察 A 等于 a 与干预 do(A等于a) 的因果 DAG 手术对照 — 观察条件化与 do 干预

例子与边界

令未测健康状态 $U\sim\operatorname{Bernoulli}(1/2)$ ，自然处理与结局为

A=U,\qquad Y=2A+3U.

观测中 $A=1$ 等价于 $U=1$ ，故 $E(Y\mid A=1)=5$ ； $A=0$ 时 $U=0$ ，均值为 0，关联差为 5。执行 $do(A=a)$ 后只把第一式替换为 $A:=a$ ， $U$ 仍各半，所以

E(Y\mid do(a))=2a+3E(U)=2a+1.5,

干预差为 2。计算中多出的观测差 3 来自健康状态选择，而非处理作用。

这个例子也说明不能用普通条件概率规则把 $do(a)$ 消掉：在自然数据中 $P(U=1\mid A=1)=1$ ，干预后却有 $P(U=1\mid do(A=1))=1/2$ 。本例中即使观察到 $U$ ，仍不能单凭数据做非参数调整： $A=U$ 使每个 $U$ 层只出现一种处理，另一个处理结果没有支持。上面的效应 2 来自已经给定的结构方程，不能冒称由观测分布识别。若将分配改为每层两种处理都有正概率，并观察这个共同原因，就可在该图下比较同一 $U$ 层的两个处理均值，再按 $P(U)$ 平均。此时使用的是

E(Y\mid do(a))=\sum_{u=0}^1 E(Y\mid A=a,U=u)P(U=u).

权重是总体中的 $P(U=u)$ ，不能换回处理组的 $P(U=u\mid A=a)$ ；后者会把刚排除的选择差异重新带入计算。

对连续处理， $do(A=a)$ 可定义在观测概率为零的精确点，但从数据识别该响应曲线需要局部支持与光滑性等条件。算子有语义不代表样本含信息。对依赖处理前特征 $X$ 的随机政策 $g(a\mid x)$ ，应将 $A$ 的方程替换为：给定 $X=x$ ，用独立的随机数按 $g(\cdot\mid x)$ 分配处理。二元处理时，其结局均值为 $E_X[\sum_{a=0}^1g(a\mid X)E\{Y(a)\mid X\}]$ 。必须先在各 $X$ 层内混合，再对目标总体平均；直接用边缘处理概率混合总体原子干预分布，会丢失政策随基线特征变化的信息。

边界还包括不可执行的干预。“把胆固醇设为 3”未说明如何改变胆固醇，不同药物、饮食或基因操作可能通过别的路径影响结局。若不同操作在模型中不是同一模块替换，单个 $do(L=3)$ 对政策缺少明确含义。

推论与应用

在外生扰动独立的递归模型中，若 $A$ 没有父节点且 $P(A=a)>0$ ，截断分解给出 $P(Y\mid do(a))=P(Y\mid A=a)$ ；这直接适用于具有正点概率的离散处理值。连续处理的指定点仍须采用相容的机制核版本，若要从观测律识别该点，还需前述版本与正则性条件。随机化正是用设计移除处理的共同原因路径。存在共同原因时，后门调整对它们按目标总体分布平均，模拟拆除入边后的总体。

do-calculus 的三条规则在图变换后的 d-separation 条件下删除或交换观察条件与干预操作。其用途是把含 do 的目标量化成纯观测泛函；规则成立依赖正确的因果图与 Markov 语义，不是形式符号游戏。不能消去所有 do 时，结论可能是不可识别，而非需要更复杂回归。

参考资料

Judea Pearl, “Causal Diagrams for Empirical Research”, Biometrika 82(4), 1995, pp. 669–688，§2.2 的干预语义和 §3 的调整；作者稿含讨论。
Judea Pearl, Causality: Models, Reasoning, and Inference, 2nd ed., Cambridge University Press, 2009，§§3.1–3.2。
Judea Pearl, Madelyn Glymour, and Nicholas P. Jewell, Causal Inference in Statistics: A Primer, Wiley, 2016，Ch. 2–3。

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