do 算子

观察 $A=a$ 是从自然生成机制中挑出恰好取值为 $a$ 的单位，这群人的共同原因也随选择改变。执行 $do(A=a)$ 则拆掉所有指向 $A$ 的入边，让原本会取其他值的单位也接受 $a$。因此 $P(Y\mid A=a)$ 保留选择信息，$P(Y\mid do(a))$ 描述系统被改造后的响应。

模块不变性是核心。干预只替换指定方程；若行动同时改变诊疗流程、测量方式或其他机制，就应把这些共同变化写进更完整的干预，而不能继续使用单节点 do 记号。

令未测健康状态 $U\sim \mathrm{Bernoulli}(1/2)$，自然处理与结局为

观测中 $A=1$ 等价于 $U=1$，故 $E(Y\mid A=1)=5$；$A=0$ 时 $U=0$，均值为 0，关联差为 5。执行 $do(A=a)$ 后只把第一式替换为 $A:=a$，$U$ 仍各半，所以

干预差为 2。计算中多出的观测差 3 来自健康状态选择，而非处理作用。

这个例子也说明不能用普通条件概率规则把 $do(a)$ 消掉：在自然数据中 $P(U=1\mid A=1)=1$，干预后却有 $P(U=1\mid do(A=1))=1/2$。若 $U$ 被观察并满足适当图条件，可通过调整恢复干预分布；若它完全隐藏，当前观测分布可以与多种因果效应相容。

对连续处理，$do(A=a)$ 可定义在观测概率为零的精确点，但从数据识别该响应曲线需要局部支持与光滑性等条件。算子有语义不代表样本含信息。对随机政策 $g(a\mid x)$，应定义把 $A$ 方程替换为从 $g$ 抽样的 stochastic intervention，其结果为对原子干预分布按 $g$ 混合；它不是把观测 $p(a\mid x)$ 原样复制。

边界还包括不可执行的干预。“把胆固醇设为 3”未说明如何改变胆固醇，不同药物、饮食或基因操作可能通过别的路径影响结局。若不同操作在模型中不是同一模块替换，单个 $do(L=3)$ 对政策缺少明确含义。

若图中 $A$ 没有父节点，截断分解与条件分布常给出 $P(Y\mid do(a))=P(Y\mid A=a)$；随机化正是用设计制造这种断边。存在共同原因时，backdoor 调整对它们平均，模拟拆除入边后的总体。

do-calculus 的三条规则在图变换后的 d-separation 条件下删除或交换 observation 与 action。其用途是把含 do 的 estimand 化成纯观测泛函；规则成立依赖正确的因果图与 Markov 语义，不是形式符号游戏。不能消去所有 do 时，结论可能是不可识别，而非需要更复杂回归。