do 算子

观察 $A=a$ 是从自然生成机制中挑出恰好取值为 $a$ 的单位，这群人的共同原因也随选择改变。执行 $do(A=a)$ 则拆掉所有指向 $A$ 的入边，让原本会取其他值的单位也接受 $a$。因此 $P(Y\mid A=a)$ 保留选择信息，$P(Y\mid do(a))$ 描述系统被改造后的响应。

模块不变性是核心。干预只替换指定方程；若行动同时改变诊疗流程、测量方式或其他机制，就应把这些共同变化写进更完整的干预，而不能继续使用单节点 do 记号。

令未测健康状态 $U\sim \mathrm{Bernoulli}(1/2)$，自然处理与结局为

观测中 $A=1$ 等价于 $U=1$，故 $E(Y\mid A=1)=5$；$A=0$ 时 $U=0$，均值为 0，关联差为 5。执行 $do(A=a)$ 后只把第一式替换为 $A:=a$，$U$ 仍各半，所以

干预差为 2。计算中多出的观测差 3 来自健康状态选择，而非处理作用。

这个例子也说明不能用普通条件概率规则把 $do(a)$ 消掉：在自然数据中 $P(U=1\mid A=1)=1$，干预后却有 $P(U=1\mid do(A=1))=1/2$。本例中即使观察到 $U$，仍不能单凭数据做非参数调整：$A=U$ 使每个 $U$ 层只出现一种处理，另一个处理结果没有支持。上面的效应 2 来自已经给定的结构方程，不能冒称由观测分布识别。若将分配改为每层两种处理都有正概率，并观察这个共同原因，才可在相应图条件下调整。

对连续处理，$do(A=a)$ 可定义在观测概率为零的精确点，但从数据识别该响应曲线需要局部支持与光滑性等条件。算子有语义不代表样本含信息。对依赖处理前特征 $X$ 的随机政策 $g(a\mid x)$，应将 $A$ 的方程替换为：给定 $X=x$，用独立的随机数按 $g(\cdot \mid x)$ 分配处理。二元处理时，其结局均值为 $E_X[\sum _{a=0}^{1}g(a\mid X)E\{Y(a)\mid X\}]$。必须先在各 $X$ 层内混合，再对目标总体平均；直接用边缘处理概率混合总体原子干预分布，会丢失政策随基线特征变化的信息。

边界还包括不可执行的干预。“把胆固醇设为 3”未说明如何改变胆固醇，不同药物、饮食或基因操作可能通过别的路径影响结局。若不同操作在模型中不是同一模块替换，单个 $do(L=3)$ 对政策缺少明确含义。

在外生扰动独立的递归模型中，若 $A$ 没有父节点且处理值有支持，截断分解给出 $P(Y\mid do(a))=P(Y\mid A=a)$；随机化正是用设计制造这种断边。存在共同原因时，后门调整公理库Backdoor 准则Back-door criterion · Backdoor criterion用因果图判断一组处理前变量是否阻断处理与结局之间全部非因果后门路径的准则。对它们按目标总体分布平均，模拟拆除入边后的总体。

do-calculus 的三条规则在图变换后的 d-separation 条件下删除或交换观察条件与干预操作。其用途是把含 do 的目标量 化成纯观测泛函；规则成立依赖正确的因果图与 Markov 语义，不是形式符号游戏。不能消去所有 do 时，结论可能是不可识别，而非需要更复杂回归。