形式陈述

设有限拟阵 $M=(E,\mathcal I)$$M=(E,\mathcal{I})$ 的基族为 $\mathcal B$$\mathcal{B}$。集合族

$$ \mathcal B^*=\{E\setminus B:B\in\mathcal B\} $$$${\mathcal{B}}^{\ast }=\{E\setminus B:B\in \mathcal{B}\}$$

满足基交换公理，因而定义同一底集上的对偶拟阵 $M^*$$M^{\ast }$。它满足 $(M^*)^*=M$$(M^{\ast }{)}^{\ast }=M$，且对任意 $X\subseteq E$$X\subseteq E$，

$$ r_{M^*}(X)=|X|-r_M(E)+r_M(E\setminus X). $$$$r_{M^{\ast }}(X)=|X|-r_M(E)+r_M(E\setminus X).$$

$M^*$$M^{\ast }$ 的圈称为 $M$$M$ 的余圈；删除与收缩在对偶下交换：$(M\setminus e)^*=M^*/e$$(M\setminus e{)}^{\ast }=M^{\ast }/e$、$(M/e)^*=M^*\setminus e$$(M/e{)}^{\ast }=M^{\ast }\setminus e$。

直觉

对偶把“选择一个基”改看成“舍弃其补集”。它交换独立与余独立、环与割、删除与收缩，使许多只证明了一半的拟阵命题自动得到另一半。

例子与边界

均匀拟阵满足 $U_{r,n}^*=U_{n-r,n}$$U_{r,n}^{\ast }=U_{n-r,n}$。若 $G$$G$ 是连通平面图，则在固定平面嵌入下，$M(G)^*$$M(G{)}^{\ast }$ 与平面对偶图 $G^*$$G^{\ast }$ 的图拟阵同构；一般非平面图的图拟阵对偶未必仍是图拟阵。对偶不是把所有独立集逐个取补：独立集补集通常不构成对偶独立集，定义只从基的补集出发。环与余圈也不是普通集合补集关系。

推论与应用

拟阵对偶统一图中的圈—割对偶和线性代数中的核—正交补结构，用于网络流、编码理论、Tutte 多项式以及删缩归纳。

参考资料

• James Oxley, Matroid Theory, 2nd ed., Oxford University Press, 2011，Ch. 2, dual matroids, rank formula, deletion, and contraction。
• J. H. van Lint and R. M. Wilson, A Course in Combinatorics, 2nd ed., Cambridge University Press, 2001，Ch. 13, bases, duality, circuits, and cocircuits。