拟阵对偶

对偶把“选择一个基”改看成“留下其补集”，但补集族仍满足拟阵基交换公理。原拟阵中独立、生成、回路与割集在对偶中交换角色；这不是简单把独立集取补，因为任意独立集的补通常并非对偶独立。秩公式精确记录一个集合保留了多少原始约束。

均匀拟阵满足 $U_{r,n}^{\ast }=U_{n-r,n}$。若 $G$ 是连通平面图，则在固定平面嵌入下，$M(G{)}^{\ast }$ 与平面对偶图 $G^{\ast }$ 的图拟阵同构；一般非平面图的图拟阵对偶未必仍是图拟阵。对偶不是把所有独立集逐个取补：独立集补集通常不构成对偶独立集，定义只从基的补集出发。环与余圈也不是普通集合补集关系。

对平面三角形，原图任一生成树含两条边；其补集只有一条边，恰是对偶图——两个顶点间三条平行边——的一棵生成树。更一般地，原图的桥在平面对偶中变成自环，因为它两侧属于同一个面；原图的环则对应对偶中的割。这个对应依赖给定的平面嵌入，而抽象拟阵对偶本身不需要嵌入。

拟阵公理库拟阵Matroid用遗传性和交换公理抽象线性无关集与森林结构的组合系统。的基补集定义对偶结构，在图拟阵公理库图拟阵Graphic matroid以图边为底集、以无环边集为独立集的拟阵。中连接回路与割，并把生成树公理库生成树Spanning tree包含原图全部顶点且自身为树的子图。的补集视为对偶基。对偶秩公式公理库拟阵的秩与闭包Matroid rank · Matroid closure · Matroid flat用最大独立子集的大小定义拟阵秩，并以不增加秩的元素定义闭包与平坦。可把最小生成与最大余独立互换；对偶的回路公理库拟阵回路Matroid circuit · Circuit of a matroid拟阵中按包含关系极小的依赖集，是独立性首次失效的局部证书。就是原拟阵的 cocircuit，这也解释删元素与缩元素为何互为对偶操作。Tutte 多项式的删缩递推、网络流及编码理论中的生成矩阵与校验矩阵都体现同类对称关系。