形式陈述
给定有限无向图 ，令
则 是拟阵，称为 的图拟阵或圈拟阵。其独立集是森林，基是在每个连通分量内选取一棵生成树所得的边集，因而
其中 是连通分量数。这个公式是拟阵秩公理库拟阵的秩与闭包Matroid rank · Matroid closure · Matroid flat用最大独立子集的大小定义拟阵秩，并以不增加秩的元素定义闭包与平坦。的图论实例：一条边落在 的闭包中，当且仅当它的两个端点已由 中的路径连接。拟阵回路公理库拟阵回路Matroid circuit · Circuit of a matroid拟阵中按包含关系极小的依赖集，是独立性首次失效的局部证书。恰是图中圈的边集；在允许自环和平行边的多重图约定下，自环与两条平行边也分别给出一元回路和二元回路。
直觉
把图的边当作元素时，“无圈”恰好满足拟阵独立性的交换规律：较大的森林总有一条边可以加入较小森林而不造圈。其根本原因是森林的边数由所覆盖连通分量精确控制。于是生成树不再只是图论对象，而是这个拟阵的基，许多树算法可被解释为一般拟阵贪心的特例。
例子与边界
三角形给出秩为 的拟阵：任意至多两条边独立，三条边合起来成为唯一的圈。若图不连通，基不是整图的一棵树，而是各分量生成树的并。自环从不独立，两条平行边组成二元回路。不同图可能给出同构拟阵，所以图拟阵只保留回路独立结构，不能恢复原图的全部邻接信息；并非每个拟阵也都来自某张图。
推论与应用
图公理库有限简单无向图Graph · Finite simple undirected graph · 图由有限顶点集与无序二元顶点子集组成的边集所确定的简单无向图。的森林族给出拟阵公理库拟阵Matroid用遗传性和交换公理抽象线性无关集与森林结构的组合系统。，其基对应生成树公理库生成树Spanning tree包含原图全部顶点且自身为树的子图。或生成森林。图的有向关联矩阵在每个域上表示公理库可表示拟阵Representable matroid · Linear matroid能由某个域上矩阵列向量的线性无关关系实现的拟阵。这套独立关系；拟阵贪心定理公理库拟阵贪心定理Matroid greedy theorem有限独立系统中，按非增权重加入可行元素对每个非负权重都产生最大权独立集，当且仅当该系统是拟阵。立即推出 Kruskal 型最小生成树正确性，对偶拟阵公理库拟阵对偶Matroid duality以基的补集为基定义的对偶拟阵构造。则在平面图中连接对偶图的余树结构。删缩递推和 Tutte 多项式进一步把这一结构用于网络可靠性计数。
参考资料
- James Oxley, Matroid Theory, 2nd ed., Oxford University Press, 2011，Ch. 1 and Ch. 5, graphic matroids, forests, circuits, and rank。
- J. H. van Lint and R. M. Wilson, A Course in Combinatorics, 2nd ed., Cambridge University Press, 2001，Ch. 13, graphic matroids and spanning forests。
