分离与支撑超平面定理

凸集没有向内凹陷：从集合中离得最近的点望向外部点，连线方向提供一个线性坐标，使外部点比集合中的所有点都更靠外。支撑超平面是这个画面的极限情形——把外部点推向边界，分隔平面最终贴住集合而不切入内部。线性函数于是成为凸几何的探针：复杂集合可以通过各方向上的半空间约束来识别，对偶变量也因此能充当可行性或最优性的证书。

从最近点到边界支撑 ​

对第一项，可将距离最小化限制在一个足够大的闭球与 $C$ 的交上；它非空、闭且有界，有限维Heine–Borel 定理理路Heine–Borel 定理Heine–Borel theorem欧氏空间子集紧致当且仅当它闭且有界。和极值定理理路极值定理Extreme value theorem连续实值函数在非空紧空间上取得最大值和最小值。给出最近点 $p$。对任意 $c\in C$，点 $p+t(c-p)$ 在 $0\le t\le 1$ 时仍可行。展开距离平方并让 $t\downarrow 0$，得到

取 $a=x_0-p$、$b=⟨a,p⟩$，则 $⟨a,x_0⟩-b=\Vert a{\Vert }^2>0$。这个最近点条件给出单侧不等式；一般凸集的投影不必是线性算子。

第二项中，设 $C$ 闭、$D$ 紧。凸集 $C-D$ 仍闭：若 $c_n-d_n$ 收敛，先从 $d_n$ 抽取收敛子列，再由 $C$ 闭得到差的极限仍在 $C-D$。它不含零，对它与零应用第一项即可得到统一正间隔；交换法向量符号便得到形式陈述的方向。

第三项取外点 $x_n\to x_0$，相应最近点为 $p_n$。因 $x_0\in C$，有 $\Vert x_n-p_n\Vert \le \Vert x_n-x_0\Vert$，故 $p_n\to x_0$。将 $a_n=x_n-p_n$ 归一化，并用Bolzano–Weierstrass 定理理路Bolzano–Weierstrass 定理Bolzano–Weierstrass theorem实数空间中的每个有界序列都存在收敛子列。抽取单位法向量的收敛子列。其极限 $a$ 仍为单位向量；对每个固定 $c\in C$ 在 $⟨a_n/\Vert a_n\Vert ,c-p_n⟩\le 0$ 中取极限，就得到非零支撑法向量。

令 $C=\{x\in {\mathbb{R}}^2:\Vert x\Vert \le 1\}$，取外点 $x_0=(2,0)$。最近点是 $(1,0)$，超平面 $x_1=1$ 把圆盘与 $x_0$ 严格分开；在边界点 $(1,0)$，同一条直线也是支撑超平面。圆盘在这里的支撑法向量只能沿半径方向，按正比例视为同一方向；正方形顶点则有一整束支撑线。严格凸性本身不保证这种唯一性：集合 $\{(x,y):y\ge x^2+|x|\}$ 是严格凸集，却在原点被每条 $y=ax$（$|a|\le 1$）支撑。曲线没有直线段，仍可以有尖角。

闭性、紧性控制的是能否留下统一正间隔。设

二者都是闭凸集且不交，却因 $e^x\to 0$（$x\to -\mathrm{\infty }$）而距离为零，所以不能强分离；水平轴只能给出没有正裕量的分离。对低维凸集还应使用相对内部理解几何条件，例如一条线段在环境平面中的内部为空，但这并不妨碍它有支撑超平面。

分离定理说明闭凸集可表示为所有包含它的闭半空间之交；有限个这类约束给出多面体理路多面体与多胞形Polyhedron · Polytope分别由有限线性不等式交与有限点凸包描述，并由 Minkowski–Weyl 定理连接的凸几何对象。的 H-表示。支撑超平面的法向量对应指标函数的次梯度，也把本页连接到次微分理路次梯度与次微分Subgradient · Subdifferential以全局仿射下界刻画凸函数在不可微点的支撑斜率集合。。在Lagrange 对偶理路拉格朗日对偶Lagrange duality通过拉格朗日函数构造原问题下界的对偶问题，并研究弱对偶、强对偶与最优性条件。中，对适当凸集合进行分离会产生乘子与弱、强对偶结论；无限维版本通常借助 Hahn–Banach 定理理路Hahn–Banach 定理Hahn–Banach theorem在保持控制不等式或范数的条件下把子空间上线性泛函延拓到全空间。，但需要重新明确拓扑、连续对偶与闭性。

有限维量子态提供一个具体分离应用：可分双边态形成紧凸集，集合外的纠缠态可由某个厄米线性泛函严格分开。将泛函写为 $\rho \mapsto \mathrm{Tr}(W\rho )$，便得到纠缠见证理路纠缠见证Entanglement witness用一个在全部可分态上非负的可观测量，以负期望值证实目标态的纠缠。；在所有可分态上非负而在目标态上为负，就是可实验估计的分离证书。