分离与支撑超平面定理

形式陈述 ​

先固定有限维实内积空间，并采用仿射超平面与半空间公理库仿射超平面与半空间Affine hyperplane · Half-space由非零线性泛函的等值集及其两侧不等式区域定义的仿射几何对象。页的记号 $H=\{x:⟨a,x⟩=b\}$，其中 $a\ne 0$。分离强度必须随假设分别陈述：

1. 若 $C$ 是非空闭公理库闭集Closed set补集为开集的集合。凸集公理库凸集Convex set任意两点间线段全部包含在集合中的向量空间子集。且 $x_0\notin C$，则存在 $a\ne 0,b$ 使$$⟨a,x⟩\le b<⟨a,x_0⟩\text{对所有 }x\in C.$$在有限维中可取 $a=x_0-P_C(x_0)$，由最近点投影得到严格间隔。
2. 若非空凸集 $C,D$ 不交，且其中一个闭、另一个紧，则二者可强分离：存在 $a\ne 0$ 与 $\alpha <\beta$，使 $⟨a,c⟩\le \alpha <\beta \le ⟨a,d⟩$ 对所有 $c\in C,d\in D$。
3. 若 $C$ 是非空闭凸集且 $x_0\in \partial C$，则存在 $a\ne 0$ 使$$⟨a,x⟩\le ⟨a,x_0⟩\text{对所有 }x\in C.$$经过 $x_0$ 的这个超平面称为支撑超平面；它不必唯一，也可能包含整个低维集合。

更一般的弱分离或一侧严格分离有各自较弱假设，不能把这些版本压成“任意两个不交凸集都有正间隔”。

直觉 ​

凸集没有向内凹陷：从集合中离得最近的点望向外部点，连线方向提供一个线性坐标，使外部点比集合中的所有点都更靠外。支撑超平面是这个画面的极限情形——把外部点推向边界，分隔平面最终贴住集合而不切入内部。线性函数于是成为凸几何的探针：复杂集合可以通过各方向上的半空间约束来识别，对偶变量也因此能充当可行性或最优性的证书。

例子与边界 ​

令 $C=\{x\in {\mathbb{R}}^2:\Vert x\Vert \le 1\}$，取外点 $x_0=(2,0)$。最近点是 $(1,0)$，超平面 $x_1=1$ 把圆盘与 $x_0$ 严格分开；在边界点 $(1,0)$，同一条直线也是支撑超平面。圆盘的严格凸性使这里的支撑方向唯一，但正方形顶点有一整束支撑线，说明“存在支撑”不意味着“切平面唯一”。

闭性、紧性控制的是能否留下统一正间隔。设

$$C=\{(x,y):y\ge e^x\},D=\{(x,0):x\in \mathbb{R}\}.$$

二者都是闭凸集且不交，却因 $e^x\to 0$（$x\to -\mathrm{\infty }$）而距离为零，所以不能强分离；水平轴只能给出没有正裕量的分离。对低维凸集还应使用相对内部理解几何条件，例如一条线段在环境平面中的内部为空，但这并不妨碍它有支撑超平面。

推论与应用 ​

分离定理说明闭凸集可表示为所有包含它的闭半空间之交；有限个这类约束给出多面体公理库多面体与多胞形Polyhedron · Polytope分别由有限线性不等式交与有限点凸包描述，并由 Minkowski–Weyl 定理连接的凸几何对象。的 H-表示。支撑超平面的法向量对应指标函数的次梯度，也把本页连接到次微分公理库次梯度与次微分Subgradient · Subdifferential以全局仿射下界刻画凸函数在不可微点的支撑斜率集合。。在Lagrange 对偶公理库拉格朗日对偶Lagrange duality通过拉格朗日函数构造原问题下界的对偶问题，并研究弱对偶、强对偶与最优性条件。中，对适当凸集合进行分离会产生乘子与弱、强对偶结论；无限维版本通常借助 Hahn–Banach 定理公理库Hahn–Banach 定理Hahn–Banach theorem在保持控制不等式或范数的条件下把子空间上线性泛函延拓到全空间。，但需要重新明确拓扑、连续对偶与闭性。

参考资料

• Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe, Convex Optimization, Cambridge University Press, 2004，§2.5, separating and supporting hyperplanes。
• R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, 1970，§§11–18, separation and supporting hyperplanes。