形式陈述

实向量空间中的集合 $C$$C$ 称凸，若对任意 $x,y\in C$$x,y\in C$ 和 $\theta\in[0,1]$$\theta \in [0,1]$，都有

$$ (1-\theta)x+\theta y\in C. $$$$(1-\theta )x+\theta y\in C.$$

等价地，任意有限凸组合

$$ \sum_{i=1}^m\lambda_i x_i, \qquad \lambda_i\ge0, \qquad \sum_i\lambda_i=1 $$$$\sum _{i=1}^m{\lambda }_i{x}_i,{\lambda }_i\ge 0,\sum _i{\lambda }_i=1$$

仍属于 $C$$C$。任意族凸集的交仍凸；集合 $S$$S$ 的凸包是包含 $S$$S$ 的所有凸集之交，也就是所有有限凸组合的集合。

直觉

凸集没有向内凹陷：从集合内一点沿直线走向另一点，整个过程都不离开集合。于是局部直线插值能描述全局可行性。

例子与边界

仿射子空间、半空间、范数球和概率单纯形都是凸集；圆周本身、两个相离球的并通常不凸。凸性不要求集合开、闭、有界或含原点。凸集的并一般不凸，除非额外结构保证。在线性映射下的像和原像保持凸性。整数点集即使其凸包很简单也通常不凸，故整数规划不是普通凸优化。

推论与应用

凸集支撑分离定理、投影、线性/凸规划和混合策略；凸包把离散对象松弛为连续几何对象，是优化和组合几何的基本桥梁。

参考资料

• Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe, Convex Optimization, Cambridge University Press, 2004，Ch. 2, convex sets, cones and affine geometry。
• R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, 1970，§§1–2, convex sets and convex hulls。