凸集

凸集允许对两个方案做连续混合而不离开可行范围；它把“折中仍合法”编码成线段闭包。定义只涉及有限凸组合，但反复应用即可得到任意有限多个点的凸组合。凸性是一种仿射性质：平移和可逆仿射变换不会改变它，却与长度、角度无关。

仿射子空间、半空间、范数球和概率单纯形都是凸集；圆周本身、两个相离球的并通常不凸。凸性不要求集合开、闭、有界或含原点。凸集的并一般不凸，除非额外结构保证。在线性映射下的像和原像保持凸性。整数点集即使其凸包很简单也通常不凸，故整数规划不是普通凸优化。

概率单纯形

是凸集，因为混合两组概率仍是概率。单位圆盘凸，而圆周不凸：$(1,0)$ 与 $(-1,0)$ 的中点为原点，不在圆周上。开球和闭球都可凸，说明凸性与开闭性质彼此独立。

取一个集合的所有有限凸组合得到凸包公理库凸包Convex hull包含给定点集的最小凸集，是凸几何中的基本包络对象，并可进一步研究其算法构造。，它是包含原集合的最小凸集；Carathéodory 定理公理库Carathéodory 定理Caratheodory theorem in convex geometry有限维凸包中的每个点都可由至多维数加一个原集合点的凸组合表示。在有限维中控制每个点所需的生成点数。仿射超平面与半空间公理库仿射超平面与半空间Affine hyperplane · Half-space由非零线性泛函的等值集及其两侧不等式区域定义的仿射几何对象。给出最基本的凸约束，有限个闭半空间之交形成多面体公理库多面体与多胞形Polyhedron · Polytope分别由有限线性不等式交与有限点凸包描述，并由 Minkowski–Weyl 定理连接的凸几何对象。。Helly 定理公理库Helly 定理Helly theorem欧氏 d 维空间中有限凸集族的全局非空交可由至多 d 加一个集合的局部交保证。进一步把有限凸集族的全局相交性压缩为低阶子族证书；这些结论各自需要有限维或有限族假设，不属于凸集定义本身。

分离与支撑超平面定理公理库分离与支撑超平面定理Separating hyperplane theorem · Supporting hyperplane theorem用线性泛函分开凸集或在其边界处构造全局支撑超平面。说明何时能用线性泛函识别外点或贴住边界；闭性、紧性与分离强度的区别由该定理页统一处理。在博弈中，混合策略组成概率单纯形；在组合优化中，离散可行点的凸包把难以直接搜索的选择问题放松为连续几何问题，但放松后的解未必仍是原来的离散方案。

在线凸优化公理库在线凸优化Online convex optimization · OCO每轮先在凸域选点、再承受未知凸损失，并与最好固定点比较。把同一个凸集 $K$ 作为每轮允许动作的静态可行域，在线梯度下降公理库在线梯度下降online gradient descent · OGD在每轮凸损失揭示后走一个投影次梯度步，并以距离势函数控制 regret。再把一次梯度步投影回 $K$。这项应用不意味着所有假设类都凸：二元分类器集合通常没有“混合两个函数仍是同类分类器”的性质；只有把动作改成随机化分布或实值参数后，才可能得到凸结构。