Helly 定理

在固定维数中，凸集的全局可行性拥有大小受限的局部证书。若全族无公共点，必能在至多 $d+1$ 个约束中看到冲突；维数决定了需要同时检查多少个方向，而不是集合总数。

Radon 点是证明的粘合器。每个 $x_i$ 可能缺少对第 $i$ 个集合的保证，但 Radon 划分让交点 $y$ 总能从“不缺少 $C_i$ 的那一侧”表示出来，凸性再把它留在 $C_i$ 中。

在实线中 $d=1$，有限个非空区间只要每两个相交，全部区间就相交。对于闭有界区间，可取所有左端点的最大值；开区间不能照搬这个选点规则，例如 $(0,1)$ 与 $(0,2)$ 的最大左端点 $0$ 不在交中，而 $1/2$ 才是一个公共点。在平面中，只要有限凸集族的每三个成员相交，整个族便有公共点。

凸性不能删除。取平面中四个不同点 $p_1,\dots ,p_4$，令

任意三个 $C_i$ 的交包含剩下那个点，但四者总交为空；这些有限点集通常非凸。它们满足平面中“三三相交”却破坏结论。

有限性也不能直接删除。实线上的开区间族 $C_n=(n,\mathrm{\infty })$ 任意有限子族都有非空交，任意两个当然相交，但全族交为空。一个正确的无限版本要求所有成员都是闭凸集，且至少一个成员 $K$ 紧。如果每个至多 $d+1$ 元子族相交，有限 Helly 定理先给出整个族的有限交性质；各个 $K\cap C_i$ 是紧空间 $K$ 中的闭集，再由紧致性的有限交性质理路紧空间Compact space每个开覆盖都能缩减为有限子覆盖的拓扑空间。得到全交非空。

仅有一个紧成员而其他集合不闭仍不够：$K=[0,1]$ 与 $C_n=(0,1/n)$ 组成的族任意有限子族都相交，全族却没有公共点。这里可能的极限点 $0$ 恰被每个 $C_n$ 排除。

$d+1$ 一般是最优数目。在 ${\mathbb{R}}^d$ 中令

全部 $d+1$ 个集合不相交，因为前 $d$ 条约束推出坐标和至少为 $d$；删掉最后一个集合后显然可行，删掉任一 $C_i$ 后又可把该坐标取得足够小，使其余约束与和式同时成立。因此每 $d$ 个集合相交仍不能保证全交。

Helly 定理把线性不等式可行性转成固定大小子系统的证书：若有限半空间系统在 ${\mathbb{R}}^d$ 无解，则存在至多 $d+1$ 条约束已经无解。它与多面体理路多面体与多胞形Polyhedron · Polytope分别由有限线性不等式交与有限点凸包描述，并由 Minkowski–Weyl 定理连接的凸几何对象。的 H-表示直接相连，但不是 Farkas 引理；后者给线性组合形式的代数证书。

几何横截、设施选址和组合优化常借 Helly 数把全局相交问题降为局部检查。其作用是保证证书存在，不自动给出寻找证书的最优算法，也不替代对输入表示、退化与数值鲁棒性的分析。

在二维随机约束降维理路Seidel 二维线性规划Seidel linear programming · Seidel randomized LP · Seidel 低维线性规划随机加入半平面，在当前最优点被排除时降为边界上的一维区间问题，并用符号框区分不可行、有限最优和目标无界。中，本定理把不可行前缀的删除关键约束数限制为三；算法还必须用边界上的实际上下界冲突找到证书。最优性问题的短基还需要LP-type 局部性理路LP-type 问题LP-type problem · LP型问题 · 抽象线性规划型问题以单调值、局部违反关系和有界大小的基刻画一类优化问题，并用极端元素双计数控制随机样本的违反量。来保持未来违反关系，仅有Helly式的证书大小不自动保证所有抽样算法成立。