Radon 定理

形式陈述 ​

给定 ${\mathbb{R}}^d$ 中 $d+2$ 个点 $x_1,\dots ,x_{d+2}$，存在指标集的划分

$$\{1,\dots ,d+2\}=I\bigsqcup J,I\ne \varnothing ,J\ne \varnothing ,$$

使

$$\mathrm{conv}\{x_i:i\in I\}\cap \mathrm{conv}\{x_j:j\in J\}\ne \varnothing .$$

这样的划分称 Radon 划分。点不必互异，也不需要一般位置。

证明利用仿射相关。$d+2$ 个点在 $d$ 维仿射空间公理库仿射空间Affine space忘去原点但保留向量平移作用和仿射组合的空间。中必存在不全为零的系数 ${\lambda }_i$，满足

$$\sum _i{\lambda }_i{x}_i=0,\sum _i{\lambda }_i=0.$$

令 $I_{+}=\{i:{\lambda }_i>0\}$、$I_{-}=\{i:{\lambda }_i<0\}$。两者都非空，并且

$$\alpha =\sum _{i\in I_{+}}{\lambda }_i=-\sum _{j\in I_{-}}{\lambda }_j>0.$$

归一化后得到同一点

$$y=\sum _{i\in I_{+}}\frac{{\lambda }_i}{\alpha }{x}_i=\sum _{j\in I_{-}}\frac{-{\lambda }_j}{\alpha }{x}_j.$$

因此 $y$ 同时属于两侧凸包公理库凸包Convex hull包含给定点集的最小凸集，是凸几何中的基本包络对象，并可进一步研究其算法构造。。系数为零的点可任意分配到两侧，凸包只会扩大，从而得到覆盖全部指标的划分。

直觉 ​

$d+1$ 是仿射无关点数的上限；再加入一个点，必然出现一条系数和为零的依赖关系。把正系数项移到等式一侧、负系数项移到另一侧，并分别归一化，就得到同一点的两份凸组合表示。Radon 划分正是这条仿射依赖的几何图像。

定理保证某个划分存在，却不保证唯一。唯一性取决于点配置的依赖空间和退化情况，而不是定理的一部分。

例子与边界 ​

平面中任取四点。若它们是凸四边形的顶点，两条对角线的交点给出 Radon 点，划分为两对对角顶点；若一个点落在其余三点的三角形内，则把内部点放一侧、三个外点放另一侧。四点共线或重合时结论仍成立，只是划分和交点可能高度不唯一。

点数 $d+2$ 是锐利的。一个非退化 $d$-单纯形只有 $d+1$ 个顶点；任意两个互不相交的顶点子集张成互不相交的面，所以不存在 Radon 划分。若错误地把定理写成“任意 $d+1$ 点”，这个单纯形立即构成反例。

两个部分必须互不相交并覆盖原指标集，但原空间中的点值可以重合。若直接按点值组成集合，会丢失重复点的身份；严谨表述应在指标上划分。定理也只给凸包相交，不声称两个子集的仿射包、顶点数或交点维数满足额外唯一性质。

推论与应用 ​

Helly 定理公理库Helly 定理Helly theorem欧氏 d 维空间中有限凸集族的全局非空交可由至多 d 加一个集合的局部交保证。的有限维证明把若干局部交点交给 Radon 定理，再用凸性把 Radon 点送回每个集合。Radon 数由此成为抽象凸性中衡量局部交性质的基本参数。

本定理与Carathéodory 定理公理库Carathéodory 定理Caratheodory theorem in convex geometry有限维凸包中的每个点都可由至多维数加一个原集合点的凸组合表示。共享仿射依赖引擎，但输出角色不同：Carathéodory 删除冗余表示，Radon 则把依赖系数按正负分组。保留这两个独立语义中心，后续证明才能明确自己需要的是“小证书”还是“相交划分”。

参考资料

• Jiří Matoušek, Lectures on Discrete Geometry, Springer, 2002, Ch. 1, Radon’s theorem.
• Branko Grünbaum, Convex Polytopes, 2nd ed., Springer, 2003, Ch. 1, affine dependence and convexity.