Carathéodory 定理

在 $r$ 维仿射空间中，超过 $r+1$ 个点必有仿射冗余。沿一条系数和为零、加权点和也为零的方向移动凸组合系数，不会改变所表示的点；把移动量推到首次碰到系数零的位置，就能删除一个点而不离开概率单纯形。

定理不是说整个凸包只由同一组 $d+1$ 个点生成。不同的 $x$ 可以需要不同证人；它只把每个点的局部表示复杂度限制在环境维数以内。

在平面中，任意凸包点都落在原集合某三个点的三角形内；若该点位于一条弦上，只需两个端点。单位正方形中心可写成一条对角线两端点的平均，因此实际证人数可以小于上界。

上界一般不能改成 $d$。取 ${\mathbb{R}}^d$ 中一个非退化 $d$-单纯形的 $d+1$ 个顶点，任一内部点都有全部重心坐标严格为正；若删去一个顶点，只剩一个真面，其凸包不含该内部点。由此 $d+1$ 是锐利界。

有限维假设不能无条件删除。无限维向量空间中，一个点仍由某个有限凸组合表示，但不存在统一的“维数加一”常数控制所有点。系数非负和总和为一也不可省略；允许任意仿射组合得到的是仿射包，允许任意线性组合则得到线性张成。

Carathéodory 定理为凸几何提供小证书：判断点属于高维凸包时，总有一个至多 $d+1$ 点的见证。对有限点生成的多胞形理路多面体与多胞形Polyhedron · Polytope分别由有限线性不等式交与有限点凸包描述，并由 Minkowski–Weyl 定理连接的凸几何对象。，它限制单个点所需的顶点数，也解释线性规划基本解为何由有限个活跃方向控制。

最优性有时还能先减少一维。D最优设计理路D最优设计与G最优等价定理D-optimal design · G-optimal design · Kiefer–Wolfowitz equivalence theorem · D最优实验设计在有限候选线性实验中，以逐点预测方差认证最大信息行列式，并说明支持、效率、换坐标与整数分配的边界。的正权矩阵原子满足$\mathrm{tr}(M_{\ast }^{-1}S)=p$，位于维数至多$p(p+1)/2-1$的仿射超平面，所以同一最优信息矩阵可由至多$p(p+1)/2$个位置表示。Elfving设计理路Elfving定理与c最优设计Elfving theorem · c-optimal design · Elfving set · c最优实验设计将一个可估线性目标的最小方差设计化为最小一范数表示、对偶支撑证书和对称凸包的射线交点，允许最优信息矩阵奇异。把有符号实验向量放在支撑面$z^{\mathsf{T}}x=1$上，则只需至多$p$个位置。这里压缩的是一份最优表示，不是说所有最优权重天然稀疏；新比例也未必适配指定整数预算。

在精确单均值核心集理路核心集与精确单均值压缩Coreset · Strong coreset · 核集 · Exact one-mean coreset核心集用带权输入子集同时保持所有查询的目标值；二次提升与凸组合消元给出至多 d+2 点的非负精确单均值核心集。中，把输入点提升为 $(p,\Vert p{\Vert }^2)\in {\mathbb{R}}^{d+1}$，再对归一化矩向量应用本定理，就能用至多 $d+2$ 个原始点及非负新权重保持总质量、一阶矩和平方范数矩。这三个量决定任意中心的平方距离总成本，因此小凸组合证书成为可直接使用的数据压缩结果。

本定理与Radon 定理理路Radon 定理Radon theorem欧氏 d 维空间中的任意 d 加二个点都能划分为两个凸包相交的非空部分。都由仿射相关性驱动，但并非同一结论：前者沿相关方向消去凸组合项，后者按相关系数的正负把点集分成两个凸包相交的部分。二者结论不同，不能把“少量点表示”与“两个凸包相交”合并成一句同义口号。