一阶最优性条件

从候选点朝任意可行点走一小步，方向导数都不能为负；否则就存在立刻降低目标的可行方向。凸性把这一局部方向信息升级为全局证书，因为整条可行线段都留在 $C$ 内，且切平面是全局下界。这里检验的不是有限个坐标方向，而是整个可行方向锥；在光滑边界上，目标的负梯度必须由边界法向力抵住。

无约束时可以朝梯度的正反两个方向试探，唯一可能是梯度为零。约束会破坏这种对称性：若某方向被集合挡住，即使梯度非零也可能已经无法下降。一阶条件说明“优化停止”是几何命题，而不是某个算法的退出代码。实际程序用小梯度或小投影梯度作为近似证书时，还要把容差、尺度和求值误差写清楚。

考虑

先分别让两个平方项最小，无约束极小点应为 $(2,-1)$。但第二坐标被限制为非负，离 $-1$ 最近的可行值是 $0$，所以得到候选 $x^{\ast }=(2,0)$。它的梯度是 $(0,1)$。对任意可行 $x$，

所以 $x^{\ast }$ 是全局极小点，且目标值为 $1/2$。此处 $\mathrm{\nabla }f(x^{\ast })\ne 0$ 并非失败，而是第二坐标的非负约束提供了相反法向。把同一问题误用无约束判据会错误地断言“尚未最优”。

凸性不能删除。$f(x)=x^3$ 在 $x=0$ 满足 $f^{\prime }(0)=0$，但任意负 $x$ 都给更小函数值；一般非凸问题中零梯度只是局部极小的必要条件之一，还可能对应极大点或鞍点。不可微凸函数也不能硬写梯度，例如 $|x|$ 在零点应使用 $0\in \partial f(0)$。最后，这一条件刻画解，不保证解存在，也不保证任何迭代会到达它；开集上的下确界可能不取到。

将梯度换成一般连续单调场，就得到单调变分不等式理路单调变分不等式Monotone variational inequality · Stampacchia variational inequality · Minty variational inequality用一般单调场与可行方向的内积刻画平衡，证明两种量词形式和投影固定点的关系，并以可计算间隙区分解、存在性与误差尺度。。一阶内积条件仍能定义平衡，但场可能含有旋转而不存在凸势；外梯度法理路外梯度法Extragradient method · Korpelevich method在同一原锚点上先预测再校正，用两次场求值和投影处理单调旋转，证明有限维点收敛及平均预测点的有界域间隙率。通过同一原锚点上的两次投影处理这种反馈，不能沿用单次梯度下降的函数值证明。

对闭凸集 $C$ 和步长 $\alpha >0$，投影 $P_C(z)$ 指 $C$ 中离 $z$ 最近的点。投影不动点

与变分不等式等价，因此投影梯度可以用固定点残差衡量近似最优。对全空间上的可微凸函数 $g:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 与适当闭凸函数 $h:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}\cup \{+\mathrm{\infty }\}$ 构成的复合目标，最优性条件改为 $0\in \mathrm{\nabla }g(x^{\ast })+\partial h(x^{\ast })$；近端梯度映射为零正好见证这条包含关系。拟 Newton 方法解的也是 $\mathrm{\nabla }f(x)=0$，但其矩阵近似和线搜索只是在寻找证书，不属于证书的定义。

误差结论必须注明指标。若强凸性成立，函数值误差能够控制 $\Vert x-x^{\ast }\Vert$；只有普通凸性时，可能存在整片最优解，算法的函数值收敛并不自动指定迭代点收敛到哪一个。若程序报告梯度范数趋零，还需结合凸性、约束处理及解存在性，才可解释为全局最优逼近。