Hahn–Banach 定理

定理保证线性测量不会因为定义域从子空间扩到整个空间就必然增大范数。逐个加入新方向时，可取值的上下界由次线性控制函数给出，而线性一致性保证这些区间非空；极大化过程完成所有方向。它揭示了赋范空间中存在足够多连续线性泛函，即使空间没有内积也能用对偶坐标分离向量。

给定非零 $x_0\in X$，先在 $\mathrm{span}\{x_0\}$ 上定义 $f(\alpha x_0)=\alpha \Vert x_0\Vert$，延拓后得到 $F\in X^{\ast }$ 满足 $\Vert F\Vert =1$、$F(x_0)=\Vert x_0\Vert$；因此连续线性泛函能分离点。对闭子空间 $M$ 和 $x\notin M$，还能构造在 $M$ 上为零而在 $x$ 上非零的泛函。定理延拓的是标量值泛函，不是任意 Banach 值线性算子；后者一般不能保范延拓。延拓通常不唯一，也通常非构造性。

Hahn–Banach 保证延拓存在，却通常不保证唯一。在 ${\mathbb{R}}^2$ 的 ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ 范数下，对 $x=(1,1)$，每个

都满足 $\Vert F_t\Vert =1$ 且 $F_t(x)=\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=1$。同一个向量因而有整族范数化泛函；只有附加严格凸性或光滑性条件时，唯一性才可能出现。

赋范空间公理库赋范向量空间Normed vector space带满足正定、齐次与三角不等式范数的向量空间。提供控制大小，有界线性算子公理库有界线性算子Bounded linear operator把有界集映为有界集，等价地连续的线性映射。中的标量值情形形成对偶空间公理库对偶空间Dual space给定向量空间到标量域的全部线性泛函组成的向量空间。。Hahn–Banach 的几何形式支撑凸集的分离与支撑超平面公理库分离与支撑超平面定理Separating hyperplane theorem · Supporting hyperplane theorem用线性泛函分开凸集或在其边界处构造全局支撑超平面。、弱拓扑与算子范数的对偶公式；有限维最近点证明与一般赋范空间中的泛函延拓路径应分开理解。定理给的是存在性和保范延拓，通常不提供唯一或可计算的延拓规则。