Hahn–Banach 定理

延拓的困难不是保持线性：选一组补充方向并任意指定值即可。困难在于新增方向和原子空间中的向量相互抵消时，泛函仍不能超过给定的控制函数。

一次增加一个方向 ​

取 $x_0\notin M$，试定义 $F(m+t{x}_0)=f(m)+tc$。为使 $F\le p$，$t>0$ 的情形要求 $c\le p(m+x_0)-f(m)$；$t<0$ 的情形要求 $c\ge f(n)-p(n-x_0)$，其中 $m,n$ 遍历 $M$。于是只需选择

区间非空，因为

这说明每一个下界都不超过每一个上界。取 $m=n=0$ 还提供有限的界，故实数的最小上界性质理路实数完备性Completeness of the real numbers · Least-upper-bound property定义非空有界集合具有最小上界的完备性质，并说明它如何刻画实数的序与极限结构。保证可选出这样的 $c$。将受控制的延拓按包含关系排序；一条链的函数图之并仍是单值线性泛函，并逐点保留控制不等式，因此给出链的上界。由Zorn 引理理路佐恩引理Zorn's lemma若偏序集中每条链都有上界，则该偏序集存在极大元。可取极大延拓；若定义域仍非全空间，上述一步又能扩大它，矛盾。

在赋范情形取 $p(x)=\Vert f\Vert \Vert x\Vert$，再把控制不等式用于 $x$ 和 $-x$，就得到 $|F(x)|\le \Vert f\Vert \Vert x\Vert$；限制回 $M$ 又给相反的范数比较，从而保范。这个论证既不要求 $X$ 完备，也不要求 $M$ 闭。

给定非零 $x_0$，在一维空间上定义 $f(\alpha x_0)=\alpha \Vert x_0\Vert$，则 $\Vert f\Vert =1$。延拓后得到范数化泛函 $F$，满足 $\Vert F\Vert =1$、$F(x_0)=\Vert x_0\Vert$。对任意不同的 $x,y$，把此构造用于 $x-y$，便有 $F(x)\ne F(y)$，所以连续线性泛函足以分离点。

非唯一性可具体计算。在 ${\mathbb{R}}^2$ 配 ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ 范数时，令 $M=\mathrm{span}\{(1,1)\}$、$f(a,a)=a$。所有

都延拓 $f$，且 $|F_t(u,v)|\le max(|u|,|v|)$；在 $(1,1)$ 处取等号，故范数恰为 $1$。不同 $t$ 给出不同延拓。若 $M$ 稠密，连续性反而会迫使延拓唯一；这是另一种机制。关于某个向量的范数化泛函唯一性，则与范数在该点的光滑性相关，不能笼统把原空间“严格凸”当作充分条件。

若 $M$ 闭且 $x\notin M$，距离 $d=\underset{m\in M}{inf}\Vert x-m\Vert >0$；先在 $M+\mathrm{span}\{x\}$ 上令 $g(m+tx)=td$，由 $\Vert m+tx\Vert \ge |t|d$ 得 $\Vert g\Vert =1$，再延拓便得到在 $M$ 上为零、在 $x$ 处为 $d$ 的连续泛函。若 $M$ 稠密且不闭，任何在 $M$ 上为零的连续泛函都在全空间为零，说明闭性在这个分离推论中的作用。

Hilbert 空间 Riesz 表示定理理路Hilbert 空间 Riesz 表示定理Riesz representation theorem for Hilbert spacesHilbert 空间上的每个连续线性泛函都唯一由与某向量取内积表示。解决另一件事：给一个已经定义在全空间的连续泛函找出唯一表示向量。本定理则从部分定义出发寻找延拓；一般赋范空间中的非唯一延拓，与固定泛函后的唯一表示并不冲突。

定理延拓的是标量值泛函，不能直接替换成任意 Banach 值算子；一般算子未必能保范延拓。Zorn 路径也只给存在性，不给一个普遍可计算的选择规则。

闭凸集与外部点的严格分离 ​

设 $X$ 为实或复赋范空间，$C\subseteq X$ 非空、范数闭且凸，$x_0\notin C$。则存在连续线性泛函 $\ell \in X^{\prime }$ 和 $\eta >0$，使

实空间中去掉实部符号即可。这里不要求空间完备，也不要求有限维。

先在实空间中证明。取 $0<r<\mathrm{dist}(x_0,C)$、$c_0\in C$，令 $D=C+B(0,r)-c_0$。这是包含 $B(0,r)$ 的开凸集，而 $v=x_0-c_0\notin D$。它的规范函数

处处有限、非负，并满足 $p_D(h)\le \Vert h\Vert /r$。缩放定义给出正齐次性；若 $h\in aD$、$k\in bD$，凸性给出 $h+k\in (a+b)D$，再取下确界便得次可加性。开性与凸性还给出 $D=\{h:p_D(h)<1\}$：$p_D(h)<1$ 时可取 $t<1$ 使 $h\in tD\subset D$；若 $h\in D$ 且 $h\ne 0$，开性允许把 $h$ 沿射线略微放大而仍留在 $D$，故 $p_D(h)<1$，而 $h=0$ 时显然。

因此 $p_D(v)\ge 1$。在 $\mathbb{R}v$ 上令 $g(tv)=t$，则 $t\ge 0$ 时由正齐次性、$t<0$ 时由 $p_D\ge 0$，均有 $g(tv)\le p_D(tv)$。Hahn–Banach 延拓得到实线性 $F\le p_D$、$F(v)=1$；把控制用于 $h$ 与 $-h$，得到 $|F(h)|\le \Vert h\Vert /r$，所以 $F$ 连续且非零。对每个 $c\in C$ 和 $\Vert h\Vert <r$，有 $c-c_0+h\in D$，从而

在开球上取 $F(h)$ 的上确界 $r\Vert F\Vert$，便得到 $F(c)\le F(x_0)-r\Vert F\Vert$。取 $\eta =r\Vert F\Vert >0$ 即得结论；此处只取上确界，无须假设泛函取得范数。

复空间先视为实空间完成这个构造，再令 $\ell (x)=F(x)-iF(ix)$。它是连续复线性泛函，且 $\mathrm{Re}\ell =F$，所以同一个分离间隔 $\eta$ 仍适用。这给出一般赋范空间的闭凸分离，有限维情形还可另用最近点几何证明。

赋范空间理路赋范向量空间Normed vector space带满足正定、齐次与三角不等式范数的向量空间。提供控制大小，有界线性算子理路有界线性算子Bounded linear operator把有界集映为有界集，等价地连续的线性映射。中的标量值情形形成对偶空间理路对偶空间Dual space给定向量空间到标量域的全部线性泛函组成的向量空间。。Hahn–Banach 的几何形式支撑凸集的分离与支撑超平面理路分离与支撑超平面定理Separating hyperplane theorem · Supporting hyperplane theorem用线性泛函分开凸集或在其边界处构造全局支撑超平面。、弱拓扑与算子范数的对偶公式；有限维最近点证明与一般赋范空间中的泛函延拓路径应分开理解。定理给的是存在性和保范延拓，通常不提供唯一或可计算的延拓规则。