形式陈述

实向量空间 $X$$X$ 上设 $p:X\to\mathbb R$$p:X\to \mathbb{R}$ 为次线性泛函，即

$$ p(x+y)\le p(x)+p(y),\qquad p(\lambda x)=\lambda p(x)\quad(\lambda\ge0). $$$$p(x+y)\le p(x)+p(y),p(\lambda x)=\lambda p(x)(\lambda \ge 0).$$

若线性子空间 $M\subseteq X$$M\subseteq X$ 上的线性泛函 $f$$f$ 满足 $f(x)\le p(x)$$f(x)\le p(x)$，则存在全空间线性泛函 $F:X\to\mathbb R$$F:X\to \mathbb{R}$，使 $F|_M=f$$F{|}_M=f$ 且 $F(x)\le p(x)$$F(x)\le p(x)$。其赋范空间推论是：每个 $f\in M^*$$f\in M^{\ast }$ 都可延拓为 $F\in X^*$$F\in X^{\ast }$，并保持

$$ \|F\|=\|f\|. $$$$\Vert F\Vert =\Vert f\Vert .$$

复数版本通过控制实部得到同样的保范延拓结论。

直觉

一个只在子空间上定义的线性测量，可以逐个加入新方向，同时选择不违反既有上界的取值；Zorn 引理把所有相容的局部延拓拼成极大延拓。

例子与边界

给定非零 $x_0\in X$$x_0\in X$，先在 $\operatorname{span}\{x_0\}$$\mathrm{span}\{x_0\}$ 上定义 $f(\alpha x_0)=\alpha\|x_0\|$$f(\alpha x_0)=\alpha \Vert x_0\Vert$，延拓后得到 $F\in X^*$$F\in X^{\ast }$ 满足 $\|F\|=1$$\Vert F\Vert =1$、$F(x_0)=\|x_0\|$$F(x_0)=\Vert x_0\Vert$；因此连续线性泛函能分离点。对闭子空间 $M$$M$ 和 $x\notin M$$x\notin M$，还能构造在 $M$$M$ 上为零而在 $x$$x$ 上非零的泛函。定理延拓的是标量值泛函，不是任意 Banach 值线性算子；后者一般不能保范延拓。延拓通常不唯一，也通常非构造性。

推论与应用

Hahn–Banach 定理构成对偶空间理论的基础，用于分离凸集、证明弱拓扑具有足够多坐标、导出支持超平面和建立许多泛函分析存在性结果。

参考资料

• Walter Rudin, Functional Analysis, 2nd ed., McGraw-Hill, 1991，Ch. 3, Hahn–Banach theorem and separation consequences。
• Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2011，Ch. 1, Hahn–Banach extension and geometric forms。