有符号测度

正测度只能记录“有多少”，有符号测度还能记录带方向的净变化：收入减支出、电荷的正负、两个概率分布之差，都会出现局部为正、局部为负的质量。它仍然要求不交拼接时账目逐项相加，但“净额为零”不表示没有活动；一块区域内的正负贡献可能恰好抵消。

因此有符号测度需要两层信息。$\nu (A)$ 是集合 $A$ 的净余额，后续的 Jordan 分解则把产生余额的正账与负账分别保留。只有后者才能回答总共流动了多少质量。把净余额的绝对值 $|\nu (A)|$ 当作“总活动量”会再次把内部抵消吞掉，通常也破坏可加性。

“至多一种无穷”是定义能运算的底线。若某处积累 $+\mathrm{\infty }$、另一处积累 $-\mathrm{\infty }$，它们的并集应取什么值没有一致答案，分拆次序还会改变级数结果。排除这种情形后，Hahn 分解可以把空间切成纯正与纯负两侧，所有后续结构才有确定含义。

在 $[0,1]$ 的 Borel 集上令

这是有限有符号测度。区间 $[0,\frac{1}{4}]$ 的值为

而 $[\frac{3}{4},1]$ 的值为 $3/16$。全空间的净值是 $0$，但测度并非零：前后两段已经给出非零证据。在实线的 Borel 集上，点质量差 ${\delta }_0-{\delta }_1$ 是更离散的例子；它对含 $0$ 不含 $1$ 的集合取 $1$，对含 $1$ 不含 $0$ 的集合取 $-1$。

任意两个正测度之差并不自动有定义。若 $\mu (A)=\lambda (A)=\mathrm{\infty }$，表达式 $\mu (A)-\lambda (A)$ 是未定式；只有当至少一边在所有相关集合上有限，或先用共同密度 $f-g$ 构造积分，才能得到合法的有符号测度。类似地，一个任意实值有限可加集合函数也不是有符号测度：缺少可数可加性时，它不能与集合列极限稳定配合。

有符号测度的“零集”也要谨慎。可能有 $\nu (A)=0$，但 $A$ 内含正负质量；上例的整个 $[0,1]$ 就如此。真正用于分解唯一性的 $\nu$-零集要求每个可测子集 $B\subseteq A$ 都满足 $\nu (B)=0$，等价地 $|\nu |(A)=0$。

Hahn 分解定理把空间分成正集与负集；Jordan 分解进一步给出互相奇异的正测度 ${\nu }^{+},{\nu }^{-}$，使

由此定义的总变差 $|\nu |={\nu }^{+}+{\nu }^{-}$ 恢复被净额隐藏的全部质量，并对 $|\nu |$-可积的 $f$ 给出积分估计

有限有符号测度形成向量空间；概率测度 $P,Q$ 的差 $P-Q$ 就属于其中。统计检验中的总变差距离、函数分析中连续线性泛函的测度表示，以及分布导数中的正负源项，都建立在这一对象上。若 $\nu \ll \mu$ 且满足合适的 $\sigma$-有限条件，Radon–Nikodym 定理还把它写成实密度 $d\nu /d\mu$，正负分解随之对应密度的正部与负部。