Hahn 分解定理

Hahn 分解寻找的不是“总额为正的一块”和“总额为负的一块”，而是两个再怎么细切也不会翻转符号的区域。正区像只含收入的账本，负区像只含支出的账本；若一页总额为正却夹着一笔支出，它还不能算正区，因为把那一笔单独取出就会暴露负值。

这项定理令人意外之处在于，全局可数可加性足以强迫这种纯符号切分存在。空间不必有坐标、顺序或密度，因而不能简单写成 $P=\{f\ge 0\}$。当密度 $f$ 确实存在时，符号集合只是定理的可视化版本；抽象定理则说明即便没有参考测度和逐点函数，正负区域仍可在可测集层面被分离。

零区可以任意归到两边，所以逐点唯一性并不合理。真正稳定的是：任何两种切法在承载非零正质量或负质量的地方必须一致。这恰好是后续 Jordan 正、负测度能够唯一的原因。

对

可取

任意 $A\subseteq N$ 上被积函数非正，所以 $\nu (A)\le 0$；任意 $A\subseteq P$ 上被积函数非负，所以 $\nu (A)\ge 0$。点 $1/2$ 的 Lebesgue 测度为零，把它从 $P$ 移到 $N$ 仍是另一组 Hahn 分解，准确展示了“只模零集唯一”。

仅看整体符号会给出错误切法。仍在上例中，$E=[0,1]$ 满足 $\nu (E)=0\ge 0$，但 $E$ 不是正集，因为 $[0,1/4]\subset E$ 的测度是 $-3/16$。同样，若 $\nu ={\delta }_0-{\delta }_1$，可取 $P=X\setminus \{1\}$、$N=\{1\}$；若空间还有既不在两点上的区域，它对 $\nu$ 为零，可以分到任意一侧。

Hahn 分解不是拓扑上的连通分区。$P,N$ 只需可测，通常既不开也不闭，更不要求由一个连续函数的正负号给出。它也不声称正负区之间存在唯一边界；任何零质量碎片都可能改变集合外观而不改变测度结构。

给定 Hahn 分解 $(P,N)$，定义

二者都是正测度，且 $\nu ={\nu }^{+}-{\nu }^{-}$。分解对零区选择的不唯一不会传给 ${\nu }^{\pm }$：比较两组 Hahn 分解时，差异部分对所有子集都为零。因此 Hahn 定理直接导出唯一的 Jordan 分解和总变差测度。

若 $\nu (A)={\int }_{A}fd\mu$，则可取 $P=\{f\ge 0\}$、$N=\{f<0\}$，进而得到 $d{\nu }^{+}=f^{+}d\mu$、$d{\nu }^{-}=f^{-}d\mu$。这把抽象切分与函数的正负部接在一起，并让有符号积分、Radon–Nikodym 导数和线性泛函的测度表示可以使用同一套符号控制。