有符号测度的 Jordan 分解

一张只有净额的账本可以用许多“收入减支出”表示：在收入和支出两栏同时加一百，净额完全不变。Jordan 分解用互相奇异性禁止这类虚增——每一份质量只能属于正边或负边，不能同时出现在两栏。于是它保留了产生净额所需的最小正质量与最小负质量。

正、负部分不是按集合的总值逐个截断。公式 $max\{\nu (A),0\}$ 通常不具可加性，因为一个集合内部可能已经发生抵消。Jordan 分解先在整个空间上找出符号纯净区域，再对每个 $A$ 分别查看 $A\cap P$ 与 $A\cap N$；先分区、后测量的次序不能倒转。

当 $\nu$ 有密度 $f$ 时，一切变得熟悉：$f=f^{+}-f^{-}$，且 $f^{+}{f}^{-}=0$。Jordan 分解正是把这个逐点图像提升到没有共同密度、甚至没有拓扑结构的可测空间。

令

定义在 $[0,1]$ 上。则

两者分别集中在 $[1/2,1]$ 与 $[0,1/2]$，并且

所以 $\nu ([0,1])=0$，但两部分都非零。若改写成

并任取非零正测度 $\lambda$，仍得到同一个差，却不再互相奇异，也不再最小。

离散例子 $\nu =3{\delta }_a-2{\delta }_b$ 的 Jordan 分解就是 ${\nu }^{+}=3{\delta }_a$、${\nu }^{-}=2{\delta }_b$（$a\ne b$）。若 $a=b$，则先发生代数抵消，$\nu ={\delta }_a$，其最小分解是 $({\delta }_a,0)$，而不是 $(3{\delta }_a,2{\delta }_a)$。这说明互相奇异性消除的是同一位置上的冗余质量。

有限有符号测度不等于“正负部分总质量相等”。相等只意味着 $\nu (X)=0$；有限性要求二者各自有限。对允许无穷值的一般有符号测度，若一边总质量无穷，涉及 ${\nu }^{+}(X)-{\nu }^{-}(X)$ 时仍要遵守不能出现 $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ 的定义边界。

Jordan 分解立即定义总变差测度

它满足 ${\nu }^{\pm }=(|\nu |\pm \nu )/2$，因此 $|\nu |$ 一旦确定，正负部分也随之恢复。若 $\nu =f\mu$，则 ${\nu }^{+}=f^{+}\mu$、${\nu }^{-}=f^{-}\mu$、$|\nu |=|f|\mu$；这套公式是有符号 Radon–Nikodym 理论的基本计算规则。

有限有符号测度空间以 $\Vert \nu \Vert =|\nu |(X)$ 成为 Banach 空间。Riesz–Markov–Kakutani 定理把 $C_0(X)$ 上的有界实线性泛函识别为有限有符号 Radon 测度时，泛函的正负分解正对应 ${\nu }^{+},{\nu }^{-}$，算子范数则对应总变差质量。