预解算子与预解集

$zI-A$ 询问的是：给定输出 $y$，方程 $(zI-A)x=y$ 是否对每个 $y$ 有唯一、连续依赖于 $y$ 的解。预解算子把右端项送回解，$\Vert R(z,A)\Vert$ 就是该求解问题的最坏放大倍数。靠近谱时，某些方向几乎被 $zI-A$ 压扁，逆映射必须把它们猛烈放大。

谱不仅记录严格不可逆的位置；预解范数还描绘“离不可逆有多近”。对正规矩阵，这个大小完全由 $z$ 到谱的距离决定。对非正规矩阵，特征向量接近平行会使远离特征值的区域也出现巨大放大，这正是伪谱比特征值图提供更多信息的原因。

取对角矩阵 $A=\mathrm{diag}(1,3)$。当 $z\ne 1,3$ 时，

在 Euclidean 算子范数下，

这里谱恰为两个特征值，预解范数的等高线是围绕它们的圆弧。

非正规例子取

它只有特征值 $0$，但对 $z\ne 0$，

即使 $|z|=1$，当 $M$ 很大时预解范数也至少为 $M$ 量级，远大于 $1/\mathrm{dist}(z,\sigma (A))=1$。只看特征值会漏掉这种强烈的受迫响应与扰动敏感性。

边界与失败情形 ​

有限维中，不可逆等价于行列式为零，所以谱等于特征值集合。无穷维中谱还可能包含没有特征向量的点。例如在 ${\ell }^2(\mathbb{N})$ 上，右移 $S(x_1,x_2,\dots )=(0,x_1,x_2,\dots )$ 单射却不满射。因此 $0\in \sigma (S)$，但 $0$ 不是特征值：“找不到特征向量”不能推出参数在预解集中。

非零空间条件也参与“谱非空”的结论。若 $X=\{0\}$，唯一的算子对每个 $z$ 都是从单点空间到自身的双射，故预解集为整个复平面、谱为空。

对无界算子，定义还必须要求 $zI-A$ 从算子定义域 $D(A)$ 双射到 $X$，且逆作为 $X\to X$ 的算子有界。不能忽略稠密定义域、闭性等条件，把无界微分算子当成普通矩阵处理。本页的正式陈述限于全空间上有界的 $A$。

预解范数大并不表示 $z$ 已经属于谱；它表示求逆病态。给定 $\epsilon >0$，常用

定义 $\epsilon$-伪谱。阈值与所选算子范数有关，比较结果时必须声明范数。

正负号约定也会造成表面差异。有些文献定义 $(A-zI{)}^{-1}$；它与本页的 $R(z,A)$ 相差负号，预解集和范数不变，但预解恒等式的符号应随约定一致。

当 $|z|>\Vert A\Vert$ 时，

所以大圆盘外必属于预解集，并有 $\Vert R(z,A)\Vert \le 1/(|z|-\Vert A\Vert )$。这个级数把算子幂、谱半径与复分析联系起来。

预解的围道积分可定义谱投影和解析函数演算。在线性动力系统中，Laplace 变换后的解通过 $(zI-A{)}^{-1}$ 表示；在数值分析中，预解估计控制非正规演化的瞬态增长以及离散方案对扰动的响应。

若有限维 $A=V\mathrm{\Lambda }{V}^{-1}$ 可对角化，则 $R(z,A)=V(zI-\mathrm{\Lambda }{)}^{-1}{V}^{-1}$。Bauer–Fike 定理理路Bauer–Fike 谱扰动定理Bauer–Fike theorem · Bauer-Fike theorem在可对角化假设下，以特征向量基的条件数控制全部新谱点，分清谱包围、配对和缺陷矩阵的边界。由这个式子得到新谱点的包围半径 ${\kappa }_2(V)\Vert E{\Vert }_2$；缺陷矩阵没有可逆特征向量基，应保留本页的预解或伪谱分析，不能强行使用同一常数。