预解算子与预解集

形式陈述 ​

设 $X$ 是复 Banach 空间，$A\in \mathcal{B}(X)$ 是有界线性算子公理库有界线性算子Bounded linear operator把有界集映为有界集，等价地连续的线性映射。。若对 $z\in \mathbb{C}$，算子

$$zI-A:X\to X$$

是双射，则有界逆定理保证其逆也是有界线性算子。所有这样的 $z$ 构成 $A$ 的预解集

$$\rho (A)=\{z\in \mathbb{C}:zI-A\text{ 可逆且 }(zI-A{)}^{-1}\in \mathcal{B}(X)\}.$$

预解算子是定义在 $\rho (A)$ 上的算子值函数

$$R(z,A)=(zI-A{)}^{-1}.$$

补集

$$\sigma (A)=\mathbb{C}\setminus \rho (A)$$

称为 $A$ 的谱。对有界算子，$\sigma (A)$ 是非空紧集且包含于闭圆盘 $\{|z|\le \Vert A\Vert \}$。预解集是开集，$z\mapsto R(z,A)$ 在其每个连通分支上是算子范数意义的解析函数。

两个预解参数满足预解恒等式

$$R(z,A)-R(w,A)=(w-z)R(z,A)R(w,A).$$

由此也可见同一算子的预解彼此交换。若 $\Vert (z-w)R(w,A)\Vert <1$，Neumann 级数给出

$$R(z,A)=R(w,A)\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-(z-w)R(w,A){)}^k,$$

从而在 $w$ 附近仍可逆，并量化预解集的开放性。

直觉 ​

$zI-A$ 询问的是：给定输出 $y$，方程 $(zI-A)x=y$ 是否对每个 $y$ 有唯一、连续依赖于 $y$ 的解。预解算子把右端项送回解，$\Vert R(z,A)\Vert$ 就是该求解问题的最坏放大倍数。靠近谱时，某些方向几乎被 $zI-A$ 压扁，逆映射必须把它们猛烈放大。

谱不仅记录严格不可逆的位置；预解范数还描绘“离不可逆有多近”。对正规矩阵，这个大小完全由 $z$ 到谱的距离决定。对非正规矩阵，特征向量接近平行会使远离特征值的区域也出现巨大放大，这正是伪谱比特征值图提供更多信息的原因。

例子与计算 ​

取对角矩阵 $A=\mathrm{diag}(1,3)$。当 $z\ne 1,3$ 时，

$$R(z,A)=\left(\begin{array}{cc}(z-1{)}^{-1}& 0\\ 0& (z-3{)}^{-1}\end{array}\right).$$

在 Euclidean 算子范数下，

$$\Vert R(z,A){\Vert }_2=max\{\frac{1}{|z-1|},\frac{1}{|z-3|}\}=\frac{1}{\mathrm{dist}(z,\{1,3\})}.$$

这里谱恰为两个特征值，预解范数的等高线是围绕它们的圆弧。

非正规例子取

$$A=\left(\begin{array}{cc}0& M\\ 0& 0\end{array}\right),M>0.$$

它只有特征值 $0$，但对 $z\ne 0$，

$$R(z,A)=\left(\begin{array}{cc}{z}^{-1}& M{z}^{-2}\\ 0& z^{-1}\end{array}\right).$$

即使 $|z|=1$，当 $M$ 很大时预解范数也至少为 $M$ 量级，远大于 $1/\mathrm{dist}(z,\sigma (A))=1$。只看特征值会漏掉这种强烈的受迫响应与扰动敏感性。

边界与失败情形 ​

有限维中，不可逆等价于行列式为零，所以谱等于特征值集合。无穷维中谱还可能包含没有特征向量的点。例如右移算子在某些序列空间上的谱包含整个单位圆盘，而点谱只占其中一部分；“找不到特征向量”不能推出参数在预解集中。

对无界算子，定义还必须要求 $zI-A$ 从算子定义域 $D(A)$ 双射到 $X$，且逆作为 $X\to X$ 的算子有界。不能忽略稠密定义域、闭性等条件，把无界微分算子当成普通矩阵处理。本页的正式陈述限于全空间上有界的 $A$。

预解范数大并不表示 $z$ 已经属于谱；它表示求逆病态。给定 $\epsilon >0$，常用

$${\sigma }_{\epsilon }(A)=\sigma (A)\cup \{z\in \rho (A):\Vert R(z,A)\Vert >{\epsilon }^{-1}\}$$

定义 $\epsilon$-伪谱。阈值与所选算子范数有关，比较结果时必须声明范数。

正负号约定也会造成表面差异。有些文献定义 $(A-zI{)}^{-1}$；它与本页的 $R(z,A)$ 相差负号，预解集和范数不变，但预解恒等式的符号应随约定一致。

推论与应用 ​

当 $|z|>\Vert A\Vert$ 时，

$$R(z,A)=\frac{1}{z}{(I-\frac{A}{z})}^{-1}=\frac{1}{z}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{A^k}{z^k},$$

所以大圆盘外必属于预解集，并有 $\Vert R(z,A)\Vert \le 1/(|z|-\Vert A\Vert )$。这个级数把算子幂、谱半径与复分析联系起来。

预解的围道积分可定义谱投影和解析函数演算。在线性动力系统中，Laplace 变换后的解通过 $(zI-A{)}^{-1}$ 表示；在数值分析中，预解估计控制非正规演化的瞬态增长以及离散方案对扰动的响应。

参考资料

• Walter Rudin, Functional Analysis, 2nd ed., McGraw-Hill, 1991，Ch. 10。
• John B. Conway, A Course in Functional Analysis, 2nd ed., Springer, 1990，Ch. VII。
• Lloyd N. Trefethen and Mark Embree, Spectra and Pseudospectra, Princeton University Press, 2005，Ch. 2。