Hölder 不等式 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $(X,\Sigma,\mu)$ 为测度空间，以下函数范数中的积分均按Lebesgue 积分理解。 $1\le p,q\le\infty$ 满足

\frac1p+\frac1q=1,

其中约定 $1/\infty=0$ 。若 $f\in L^p(\mu)$ 、 $g\in L^q(\mu)$ ，则 $fg\in L^1(\mu)$ ，且

\|fg\|_1=\int_X|fg|\,d\mu \le\|f\|_p\|g\|_q.

这里对 $1\le r<\infty$ 定义

\|h\|_r=\left(\int_X|h|^r\,d\mu\right)^{1/r},

而

\|h\|_\infty =\operatorname*{ess\,sup}_{x\in X}|h(x)| =\inf\{M\ge0:|h|\le M\ \text{a.e.}\}.

$L^r(\mu)$ 是相应范数有限的可测函数按几乎处处相等取商所得的空间。端点 $p=1,q=\infty$ 使用上述本质上确界范数； $p=\infty,q=1$ 对称。对有限或可数序列，在计数测度下得到

\sum_i|a_ib_i|\le\|a\|_{\ell^p}\|b\|_{\ell^q}.

当 $1<p,q<\infty$ 且两函数均非零时，等号成立当且仅当存在常数 $c>0$ 使

|f|^p=c|g|^q

几乎处处成立；零函数情形显然也取等号。

直觉

共轭指数把乘积中的“大值负担”在两个因子之间精确分配。证明先归一化 $\|f\|_p=\|g\|_q=1$ ，再把 Young 不等式

ab\le\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}

逐点积分。端点 $L^1$ – $L^\infty$ 则表示一个因子按总质量控制，另一个按几乎处处的最坏幅度控制。

例子与边界

在有限序列的 $p=q=2$ 情形， $a=(1,1)$ 、 $b=(1,-1)$ 满足

\sum_i|a_ib_i|=2=\|a\|_2\|b\|_2.

这里绝对值不能删；若求 $\sum_i a_ib_i$ ，正负项抵消为零，那是由本定理进一步推出的绝对值估计，不是定理左端本身。

在 $[0,1]$ 上取 $f(x)=x^{-1/4}$ 、 $g(x)=x^{-1/4}$ ，二者属于 $L^2$ ，乘积 $x^{-1/2}$ 属于 $L^1$ 。若指数并非共轭，原式没有相同的尺度平衡；在有限测度空间可借 $\mu(X)$ 得到附加因子，在无限测度空间则一般不能直接补救。

推论与应用

当 $p=q=2$ 时，Hölder 化为 Cauchy–Schwarz 不等式。它保证配对

(f,g)\longmapsto\int fg\,d\mu

在 $L^p\times L^q$ 上有界，并构成 $L^p$ 对偶理论、Minkowski 不等式、概率矩估计和积分算子有界性的基本工具。

参考资料