Hölder 不等式

共轭关系把乘积的两种幅度放到同一尺度：$f$ 可以在少数位置很大，但它的 $p$ 次方积分和 $g$ 的 $q$ 次方积分不能同时允许过多重叠的大值。

对 $1<p,q<\mathrm{\infty }$，先处理两个范数均非零的情况，令 $a=|f|/\Vert f{\Vert }_p$、$b=|g|/\Vert g{\Vert }_q$。令 $\varphi (t)=|t{|}^p/p$，极大化 $st-\varphi (t)$ 可得其凸共轭 ${\varphi }^{\ast }(s)=|s{|}^q/q$。于是Fenchel–Young 不等式理路凸共轭与 Fenchel–Young 不等式Convex conjugate · Fenchel conjugate · Fenchel–Young inequality以线性函数的最佳配对代价定义共轭，并导出原变量与对偶变量间的基本不等式。给出 $ab\le a^p/p+b^q/q$；逐点应用后积分，得到

恢复尺度即得结论。Young 的差值非负，积分为零恰好迫使它几乎处处为零，而其等号条件是 $a^p=b^q$，于是得到形式陈述中的比例条件。若任一范数为零，该函数几乎处处为零，结论直接成立。

端点不使用含无限指数的 Young 公式，而由 $|fg|\le \Vert g{\Vert }_{\mathrm{\infty }}|f|$ 几乎处处成立后直接积分。这里必须用本质上确界；在一个零测集上任意改大 $g$ 不应改变积分估计。

有限序列 $a=(1,1)$、$b=(1,-1)$ 在 $p=q=2$ 时满足

但 $\sum _i{a}_i{b}_i=0$。因此 $\int |fg|$ 的 Hölder 等号不要求两函数同号；若进一步估计 $|\int fg|$，还要经过三角不等式，抵消会使那一步严格。

在 $(0,1)$ 上取 $f(x)=g(x)=x^{-1/4}$，有

函数在零附近无界，仍可取等号。反之，$f=g=x^{-2/3}$ 都属于 $L^1(0,1)$，但乘积 $x^{-4/3}$ 不可积；“两个因子各自可积”不能替代共轭指数条件。

指数的必要性也可用指标函数检查。令 $f=g={\mathbf{1}}_A$ 且 $0<\mu (A)=t<\mathrm{\infty }$，若期待常数为 $1$ 的原式对任意尺度成立，就需要 $t\le t^{1/p+1/q}$。在 Lebesgue 空间中 $t$ 可任意大或小，只有共轭关系能同时兼容两端。有限测度空间允许附加测度因子，例如 $1\le r<s<\mathrm{\infty }$ 时

它由对 $|f{|}^r\cdot 1$ 使用指数 $s/r$ 及其共轭指数得到；无限测度时不能据此推出同样的包含关系。

当 $p=q=2$ 时，对 $L^2$ 中的 $|f|,|g|$ 使用 Cauchy–Schwarz 不等式理路Cauchy–Schwarz 不等式Cauchy–Schwarz inequality · 柯西–施瓦茨不等式内积的绝对值不超过两向量范数之积，且等号精确刻画线性相关。，就得到此处的乘积绝对值积分界；再用积分三角不等式，也得到通常的 $|\int \bar{f}g|$ 配对界。它保证配对

在 $L^p\times L^q$ 上有界，并构成 $L^p$ 对偶理论、Minkowski 不等式理路Minkowski 不等式Minkowski inequality$L^p$ 范数满足三角不等式。、概率矩估计和积分算子有界性的基本工具。

噪声平均还能产生跨阶范数收缩。布尔超压缩不等式理路布尔超压缩不等式Boolean hypercontractivity · Bonami-Beckner inequality给出布尔噪声算子从 Lp 到 Lq 收缩所需的精确噪声强度，并说明张量化如何消去维数依赖。在 $\rho \le \sqrt{(p-1)/(q-1)}$ 时给出 $\Vert T_{\rho }f{\Vert }_q\le \Vert f{\Vert }_p$；二点不等式借助独立坐标张量化，得到无维数因子的界。它控制的是加入噪声后的算子范数，而非直接把 Hölder 的共轭指数关系改写一次。