形式陈述

若 $1\le p,q\le \mathrm{\infty }$ 且 $1/p+1/q=1$，则

$$\int |fg|d\mu \le \Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q.$$

离散版本为 $\sum _i|a_i{b}_i|\le \Vert a{\Vert }_p\Vert b{\Vert }_q$。当 $p=q=2$ 时即 Cauchy–Schwarz 不等式。

直觉

两个函数若各自的 $p$ 次和 $q$ 次总量有限，就不可能在太大区域同时取得过大值。

例子与边界

适当归一化后取 $f$ 与 $|g{|}^{q-1}$ 同方向可达到等号。若指数不共轭，必须额外使用测度大小或嵌入条件，不能原样套用。

推论与应用

它保证乘积可积，是 $L^p$ 对偶、Minkowski、不等式估计和概率矩方法的基本工具。

参考资料

• Sheldon Axler, Measure, Integration & Real Analysis (2020), Hölder inequality.
• Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed. (1999), Lp spaces.