平行四边形恒等式的内积刻画

形式陈述 ​

设 $V$ 是实或复赋范空间。存在内积 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 使

$$\Vert x{\Vert }^2=⟨x,x⟩$$

对所有 $x\in V$ 成立，当且仅当范数满足平行四边形恒等式

$$\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2.$$

内积由范数唯一决定。按本库“第一变量共轭线性、第二变量线性”的约定，实数情形的极化公式为

$$⟨x,y⟩=\frac{1}{4}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2),$$

复数情形为

$$⟨x,y⟩=\frac{1}{4}\sum _{k=0}^3(-i{)}^k\Vert x+i^{k}y{\Vert }^2.$$

直觉 ​

内积产生的范数不仅度量长度，还暗含角度。平行四边形恒等式正是只用长度表达的 Euclidean 几何约束：平行四边形两条对角线的平方和等于四边平方和。若一个范数满足它，极化公式便能从长度恢复向量之间的内积；若不满足，再怎样人为定义角度也无法让原范数成为内积范数。

例子与边界 ​

Euclidean 范数与 ${\ell }^2$ 范数满足恒等式。对 ${\mathbb{R}}^2$ 的 ${\ell }^1$ 范数，取 $x=(1,0)$、$y=(0,1)$，左端为 $2^2+2^2=8$，右端为 $2+2=4$，所以它不来自内积。${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ 范数同样失败。

复一维空间按 $⟨x,y⟩=\bar{x}y$ 约定，取 $x=1,y=i$。上式右侧为

$$\frac{1}{4}\sum _{k=0}^3(-i{)}^k|1+i^{k+1}{|}^2=i=⟨1,i⟩,$$

验证了系数 $(-i{)}^k$ 与“第一变量共轭线性、第二变量线性”的槽位一致；若误用 $i^k$，会得到共轭值 $-i$。

定理只刻画“范数是否由某个内积诱导”，不要求空间完备。满足恒等式的赋范空间可能只是未完备内积空间；再加完备性才成为 Hilbert 空间公理库Hilbert 空间Hilbert space关于内积诱导范数完备的实或复内积空间。。

推论与应用 ​

该刻画允许只检查范数恒等式便排除某空间为 Hilbert 空间，也说明一旦范数来自内积，内积不再有选择自由。极化公式在算子理论中把二次型信息恢复为双线性或 sesquilinear 信息，是从长度数据重建角度数据的标准工具。

参考资料

• Pascual Jordan and John von Neumann, “On Inner Products in Linear, Metric Spaces,” Annals of Mathematics 36(3), 1935.
• Walter Rudin, Functional Analysis, 2nd ed., McGraw-Hill, 1991, Chapter 4.