平行四边形恒等式的内积刻画

内积产生的范数把方向之间的配对编码进长度。展开 $\Vert x+y{\Vert }^2$ 时出现正的交叉项，展开 $\Vert x-y{\Vert }^2$ 时出现负的交叉项；相加后交叉项抵消，便得到平行四边形恒等式。相减则留下配对信息，这正是实极化公式的来源。复数情形再比较 $x+iy$ 与 $x-iy$ 的长度，便能恢复内积的虚部。

Euclidean 范数与 ${\ell }^2$ 范数满足恒等式。对 ${\mathbb{R}}^2$ 的 ${\ell }^1$ 范数，取 $x=(1,0)$、$y=(0,1)$，左端为 $2^2+2^2=8$，右端为 $2+2=4$，所以它不来自内积。对 ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ 范数，同样两向量的左端为 $1+1=2$，右端为 $4$，也不满足恒等式。

复一维空间按 $⟨x,y⟩=\bar{x}y$ 约定，取 $x=1,y=i$。上式右侧为

四项的模长平方依次为 $2,0,2,4$，带入权重后得到 $2+0-2+4i=4i$，因此恢复出内积的虚部。

完备性是另一个条件。例如有限支撑序列空间配上 ${\ell }^2$ 范数，满足恒等式，因而是内积空间理路内积空间Inner product space带正定对称双线性形式或正定 Hermitian 半双线性形式的向量空间。。序列 $(1,1/2,1/3,\dots )$ 的有限截断却构成一个在其中没有极限的 Cauchy 序列；将空间完备化得到 ${\ell }^2$，才成为Hilbert 空间理路Hilbert 空间Hilbert space关于内积诱导范数完备的实或复内积空间。。

检查这一恒等式，可以判定给定范数是否具有内积结构；极化公式随后唯一恢复对应内积。它还说明线性等距映射为何保持内积：等距映射保留公式中的全部范数，因而也保留公式恢复出的每个配对值。